1、4.3指数函数与对数函数的关系学习目标1.知道同底的指数函数与对数函数互为反函数,能以它们为例对反函数进行解释和直观理解,从而达成抽象逻辑的核心素养.2.从观察图像到引出概念,培养学生观察、分析、探究问题的能力,数形结合思想的运用能力,提高由特殊到一般的归纳概括能力.从而达成数学抽象、数学运算的核心素养.3.引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系,并欣赏数形和谐的对称美.自主预习1.理解并掌握指数函数与对数函数的图像与性质.2.掌握同底数指数函数与对数函数的图像.3.数形结合,欣赏数形和谐的对称美.4.理解反函数的概念.知识梳理1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的
2、值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x).2.一般地,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.3.如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数也一定单调函数.如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数.课堂探究一、发现对称例1学生作图并判断函数y=2x与y=12x、函数y=log2x与y=log12x的对称关系.提出问题1:两个函数图像关系如
3、何?提出问题2:函数y=2x与y=log2x图像的关系?提出问题3:观察两个对应值表,两组点的坐标,两组点的位置,两个函数图像之间各有什么关系?通过对比你得到什么结论?提出问题4:关于直线y=x对称的两个点的坐标有什么关系?提出问题5:根据函数y=12x与y=log12x在同一坐标系内的图像,你又得到什么结论?二、解释对称分析函数y=ax与y=logax的内在联系,并解释对称原因,要求学生自由讨论.【注】由形的发现转入数的分析,是数形结合思想的重要体现,运用已有知识解释新问题,提高思维的深度.总结:y=axx=logayy=logax要求学生思考:以上两步交换顺序是否可以,即y=axx=ayy
4、=logax强调:先互化后互换与先互换后互化都可以解释对称,但本质原因是x,y互换.结论:指数函数与对数函数的图像关于直线y=x对称.此时,指数函数叫做对数函数的反函数,对数函数也叫做指数函数的反函数.三、明确定义指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的,有大量的函数之间具有这样的关系,我们称它们互为反函数.1.反函数的定义:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.函数f(x)的反函数通常用f-1(x)表示.说明:(1)本质:x,y互换 ;(2)记法:f-1(x);(3)注意:f(x
5、)与f-1(x)互为反函数.2.举出一些有反函数的函数,如:一次函数,反比例函数.提问:函数y=5x是否有反函数?如果有,反函数是什么?课堂练习1.求下列函数的反函数.(1)f(x)=3x;(2)f(x)=log6x.2.已知函数f(x)的图像过(-2,1)点,则其反函数f-1(x)的图像过点.3.判断下列函数是否有反函数,若有,求出其反函数.(1)x1234y3579(2)x0123y0149(3)x3210123y9410149核心素养专练1.在同一平面直角坐标系中,函数y1=a-x,y2=-logax(其中a0且a1)的图像可能是()2.设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1
6、,则当x0且a1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.12xC.log12xD.2x-2布置作业A层:习题43A第1,2,5题,43B第1,3,4,5,6题.B层:习题43C.核心素养专练1.若函数y=f(x)的图像位于第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图像位于()A.第一、二象限B.第三、四象限C.第二、三象限D.第一、四象限2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0且a1)的反函数,且f(2)=1,则f(8)=()A.3B.13C.-3D.-133.若函数f(x)=ax(a0,a1)的反函数的图像经过点(9,-2),则a=.4.若函数f(x)的图像和g(x
7、)=ln(2x)的图像关于直线x-y=0对称,则f(x)的解析式为.5.函数f(x)=loga(x2-4x+3)(a0,a1)在xm,+)上存在反函数,则m的取值范围是.参考答案自主预习略课堂探究任务一1.R(0,+)2.是是y=log2x3.图像略(0,+)R4.略任务二5.y=f(x)的定义域是y=f-1(x)的值域,y=f(x)的值域是y=f-1(x)的定义域.6.关于y=x对称关于y=x对称7.单调性相同单调性相同8.(b,a)任务三习题A1.y=log3x2.y=6x5.(1)存在(2)不存在习题B1.y=log5x3.(1)存在(2)不存在习题C1.不一定一定任务四例1解:(1)因
8、为f(x)=0时,x=1或x=2,即对应的x不唯一,因此f(x)的反函数不存在.(2)因为对g(x)的值域-1,0,1,-2,5中任意一个值,都只有唯一的x与之对应,因此g(x)的反函数g-1(x)存在,而且反函数可以表示如下.x-2-1015g-1(x)41235变式训练(2,1)例2解:因为f(x)=2x+2是增函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x与之对应,所以f(x)存在反函数.令y=2x+2,对调其中的x和y得x=2y+2,解得y=12x-1.因此f-1(x)=12x-1.图略变式训练习题A4.存在y=-13x+23习题B2.存在y=1kx-bk总结:略任务五解:设所求的函数为f(x)=kx+b(k不为0).因为f(x)的图像过(4,-1),所以4k+b=-1.又因为其反函数的图像过点(-3,-2),所以-2k+b=-3.由,得k=13,b=-73.从而f(x)=13x-73.变式训练3课堂练习A核心素养专练1.D2.A3.134.y=12ex5.m3
