1、江苏省镇江市扬中第二高级中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1已知复数z满足，则它的虚部为（）AiB1C2iD22cos24cos36cos66cos54的值等于（）A0BCD3设，是两个不共线的向量，若向量（kR）与向量共线，则（）Ak0Bk1Ck2Dk0.54设，则（）A2sinxB2cosxC2sinxD2cosx5轮船A和轮船B在中午12时，同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是（）A50nmileB70nmileC90nmileD110nmile6定
2、义运算adbc、若cos，0，则等于（）ABCD7在ABC中，点D是AC上一点，且AC4AD，P为BD上一点，向量，则，满足的关系为（）A+1BC+41D4+18圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为，表影长之差为l，那么表高为（）ABCD二、多选题（共4小题）.9已知向量（1，2），（，1），记向量，的夹角为，则（）A2时，为锐角B2时，为钝角C2时，为直角D时，为平角10在ABC中，下列说法正确的是（）A若AB，则sinAsinBB若，则s
3、in2Csin2A+sin2BC若sinAcosB，则ABC为钝角三角形D若sin2Asin2B，则AB11设P是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为（）A1BC2D3三、填空题（共4小题）.13设向量（1，1），（m+1，2m4），若，则m 14若，则 15已知1+2i是方程x2mx+2n0（m，nR）的一个根，则m+n 16ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2bsinC（2a+b）tanB，c2，则ABC面积的最大值为 四、解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
4、出文字说明、证明过程或演算步骤17设实部为正数的复数z，满足|z|，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上（1）求复数z；（2）若+（mR）为纯虚数，求实数m的值18已知，且求：（1）sin（2）的值；（2）的值19如图，在四边形ODCB中，且（1）求的值；（2）点P在线段AB上，且BP3PA，求BCP的余弦值20在C；a1；S3这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC面积为S，且4Sb2+c2a2，ccosA+acos
5、C，_？21已知（sinx，cosx），（cosx，cosx），设f（x）（1）当时，求f（x）的值域；（2）若锐角ABC满足f（C）0，且不等式tan2A+tan2B+mtanAtanB+10恒成立，求m的取值范围22如图所示，公路AB一侧有一块空地OAB，其中OA6km，OB6km，AOB90，市政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且MON30（1）若M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；（2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积尽可能小，设AOM，试确定的值，使OMN的面积最小，并求出最小面积参考答案一、选择题（共8小题）.
6、1已知复数z满足，则它的虚部为（）AiB1C2iD2解：复数z满足12i，则它的虚部为2故选：D2cos24cos36cos66cos54的值等于（）A0BCD解：cos24cos36cos66cos54sin66cos36cos66sin36sin（6636）sin30故选：B3设，是两个不共线的向量，若向量（kR）与向量共线，则（）Ak0Bk1Ck2Dk0.5解：设，是两个不共线的向量，若向量（kR）与向量共线，则：利用向量共线基本定理：k，故选：D4设，则（）A2sinxB2cosxC2sinxD2cosx解：，则，sinx+cosx+sinxcosx2sinx故选：A5轮船A和轮船B在
7、中午12时，同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是（）A50nmileB70nmileC90nmileD110nmile解：根据题意，轮船A行驶的距离为50nmile，轮船B行驶的距离为30nmile，用图形表示如下：在AOB中，OA50，OB30，BOA120，根据余弦定理得，AB2OA2+OB22OAOBcos1204900，AB70（nmile）故选：B6定义运算adbc、若cos，0，则等于（）ABCD解：依题设得：sincoscossinsin（）0，cos（）又cos，sinsinsin（）s
8、incos（）cossin（），故选：D7在ABC中，点D是AC上一点，且AC4AD，P为BD上一点，向量，则，满足的关系为（）A+1BC+41D4+1解：由AC4AD可得：，所以，因为P，B，D三点共线，所以+41，故选：C8圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为，表影长之差为l，那么表高为（）ABCD解：如图，设表高ABx，在ACD中，CAD，则，AC，在直角三角形ABC中，即xACsinl故选：D二、多选题（共4小题）.9已知向量（1，2
9、），（，1），记向量，的夹角为，则（）A2时，为锐角B2时，为钝角C2时，为直角D时，为平角解：根据题意，向量（1，2），（，1），则2，依次分析选项：对于A，当0且、不共线时，为锐角，则有，解可得2，A正确；对于B，当0且、不共线时，为钝角，则有，解可得2且，B错误；对于C，当2时，20，即为直角，C正确；对于D，当时，向量（1，2），（，1），有2，180，D正确；故选：ACD10在ABC中，下列说法正确的是（）A若AB，则sinAsinBB若，则sin2Csin2A+sin2BC若sinAcosB，则ABC为钝角三角形D若sin2Asin2B，则AB解：由ABab2RsinA2RsinB
10、sinAsinB，A正确；由c2a2+b2sin2Csin2A+sin2B，B正确；由sinAcosBcos（90A）cosB90ABA+B90C90ABC为钝角三角形，C正确；sin2Asin2B2A2B或2A+2BAB或A+B，D错误故选：ABC11设P是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD解：显然 成立，C对，D对，A错，B错，故选：CD12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为（）A1BC2D3解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2，所以，整理得：c2bc+b240，故b24（b24）0，解得b（
11、舍负），或b240，解得0b2故b的取值为（0，2故选：ABC三、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上13设向量（1，1），（m+1，2m4），若，则m5解：向量（1，1），（m+1，2m4），若，则m+1（2m4）m+50，则m5，故答案为：514若，则解：tan故答案为：15已知1+2i是方程x2mx+2n0（m，nR）的一个根，则m+n解：将x1+2i代入方程x2mx+2n0，有（1+2i）2m（1+2i）+2n0，即1+4i4m2mi+2n0，即（3m+2n）+（42m）i0，由复数相等的充要条件，得，解得m2，n，故故答案为：16ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2
12、bsinC（2a+b）tanB，c2，则ABC面积的最大值为解：由2bsinC（2a+b）tanB，则2bsinC（2a+b），即2bcosBsinC（2a+b）sinB，由正弦定理得2sinBcosBsinC（2sinA+sinB）sinB，sinB0，2cosBsinC2sinA+sinB2sin（B+C）+sinB2sinBcosC+2cosBsinC+sinB，即2sinBcosC+sinB0sinB0，2cosC+10，即cosC，即C120，c2，由余弦定理得：c2a2+b22abcosC，即12a2+b22ab（）a2+b2+ab2ab+ab3ab，即ab4，当且仅当ab时取等号
13、，则ABC的面积SabsinC，即三角形面积的最大值为 故答案为：四、解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17设实部为正数的复数z，满足|z|，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上（1）求复数z；（2）若+（mR）为纯虚数，求实数m的值解：（1）设Za+bi（a，bR且a0），由得：a2+b210又复数（1+2i）z（a2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a2b2a+b，即a3b由联立的方程组得a3，b1；或a3，b1a0，a3，b1，则Z3i（2） 为纯虚数，解得m518已知，且求：（1）sin
14、（2）的值；（2）的值解：（1）已知，且， 为锐角，cos，cos（），sin（2）sin+（）sincos（）+cossin（）+（2）由于coscos（）coscos（）+sinsin（）+，结合（ 0，），可得19如图，在四边形ODCB中，且（1）求的值；（2）点P在线段AB上，且BP3PA，求BCP的余弦值解：（1）根据题意，如图建立坐标系，A（2，0），B（0，1），C（3，2），则（1，2），（3，1），（2，1），则3+25；（2）点P在线段AB上，且BP3PA，则P的坐标为（，），则（，），则+，|，|，cosPCB20在C；a1；S3这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
15、若问题中的三角形存在，求这个三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC面积为S，且4Sb2+c2a2，ccosA+acosC，_？解：因为4Sb2+c2a2，所以2bcsinA2bccosA，即sinAcosA，所以tanA1，由A为三角形内角，得A，因为ccosA+acosC，由余弦定理，得c+a，化简，得b，选C；B，由正弦定理，得，所以c，a2，此时三角形的周长为2+11+；a1；由正弦定理，得，所以sinB1，B不存在，此时三角形不存在；S3，则3，所以c2，由余弦定理，得a2b2+c22bccosA6+12
16、6，所以a，此时三角形的周长为221已知（sinx，cosx），（cosx，cosx），设f（x）（1）当时，求f（x）的值域；（2）若锐角ABC满足f（C）0，且不等式tan2A+tan2B+mtanAtanB+10恒成立，求m的取值范围解：（1）（sinx，cosx），（cosx，cosx），f（x）所以，当时，（2）由f（C）0可得 ，注意到tanAtanB1，设，不等式（tanA+tanB）22tanAtanB+mtanAtanB+10（tanAtanB1）22tanAtanB+mtanAtanB+10，t24t+mt+20，恒成立，注意到，当时，22如图所示，公路AB一侧有一块空地O
17、AB，其中OA6km，OB6km，AOB90，市政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且MON30（1）若M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；（2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积尽可能小，设AOM，试确定的值，使OMN的面积最小，并求出最小面积解：（1）在OAB中，其中OA6km，OB6km，AOB90，tanOAB，OAB60，在AMO中，OM2OA2+AM22OAAMcos6028，cos，在OAN中，sinANOsin（A+AON）sin（A+NOM+AOM）sin（AOM+90）cosAOM，在OMN中，MN；（2）设AOM，060，在AMO中，OM，在ANO中，ON，s，060，15时，OMN的面积最小，最小值为5427
