1、第四节 数系的扩充与复数的引入基础梳理1.复数的概念及分类(1)概念:形如a+bi(a,bR)的数叫复数,其中a,b分别为它的和.(2)分类 实数:若a+bi为实数,则，虚数:若a+bi为虚数,则，纯虚数:若a+bi为纯虚数,则，(3)相等复数:a+bi=c+dia=c,b=d(a,b,c,dR).实部虚部b=0b0a=0且b02.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;(3)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;(4)乘方:zmzn=z
2、m+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n;(5)除法:_.（c+di0).12()()()()zabiabi cdizcdicdi cdi(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(bc+ad)i22(ac+bd)+(bc-ad)icd3.复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.叫做实轴,叫做虚轴.实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示 .复数集C和复平面内 组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的.4.共轭复数 把 相等,的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、bR)的共轭
3、复数记作 ,即 =(a,bR).zzx轴 y轴 实数纯虚数有序实数对(a,b)原点实部虚部互为相反数a-bi5.复数的模向量的模叫做复数z=a+bi(a,bR)的模(或绝对值),记作或,即|z|=|a+bi|=.6.复平面内两点间距离公式两个复数的就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则d=.OZ22ab|z|a+bi|差的模|Z2Z1|基础达标1.(选修2-2P110练习2改编)i是虚数单位,则.43ii 2655 i44 312426:3339 155iiiiiiii 解析2.复数z=(a2-2a)+(a2-
4、a-2)i对应点在虚轴(除原点)上，则a=.0解析：根据条件，得a2-2a=0且a2-a-20，解得a=0.3.(2011广东东莞五校联考)复数的共轭复数为.512i1-2i解析：=1-2i，512i5 1214i 4.(2010重庆)已知复数z=1+i,则=.解析：-1-i=1-i-1-i=-2i.21i-2i21zi5.(选修2-2P105习题2改编)已知z是纯虚数,是实数,那么z=.2zz-2i解析：由题意设z=ai(aR且a0)，是实数，则a+2=0，a=-2，z=-2i.221221112zaiiaaiiii 题型一 复数的概念经典例题【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)
5、-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析：复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.解：z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i,(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;(5)由解得0m3,当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.m(m-3)0(m+2)(m-3)0.(2)由(1)得,条件a=b0和a=-b0都可以作为z为纯虚数的充分不必要条件.2200abaa 0aba 题型二 复数代数
6、形式的运算【例2】计算:6123()132iiii分析：熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和(1i)2=2i,等运算结果,能使运算更加便捷.11iii 解：原式=266(1)(23)2(32)(23)231ii ii ii iiii 变式2-1(2010全国改编)复数 .34i解析：23()1ii2223(3)(1)()12(12)34.iiiiii 【例3】已知1+i是方程x2+bx+c=0（b,cR）的一个根.(1)求b,c的值;(2)试说明1-i也是方程的根.题型三 复数相等的条件分析：把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.解:(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0
7、的根,(1+i)2+b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,解得 ,b,c的值为b=2,c=2.b+c=02+b=0b=2c=2(2)由方程x22x+2=0,把1 i代入方程左边,得x22x+2=(1i)22(1i)+2=0,即方程成立,1 i也是方程的根.变式3-1已知aR，复数、满足关于x的方程x2+2x+a=0,求|+|.解：aR,方程x2+2x+a=0为实系数一元二次方程，可以用来判定方程有无实根.(1)当=44a0,即a1时，方程的根、为实数；由求根公式计算得 ,|+|0,|+|当0a1时，|+|=2;当a0时，|+|=.=2a2(|+|)222+2(+)22422aa 44a(2)当=4-4a0,即a1时，、为虚数，可求得方程的根为.|+|=11ai 2222(1)(1)(1)(1)2aaa链接高考(2010北京)在复平面内，复数对应的点的坐标为_.知识准备：1.能进行复数的除法运算，即分母实数化；2.知道复数x+yi(x,yR)对应的点的坐标为(x,y).解21ii因为,故复数对应的点的坐标为(-1,1).21ii22(1)112iiiii
