1、双曲线课时作业1双曲线1(0m0，b0)的顶点(a,0)到渐近线yx的距离为，则双曲线C的离心率是()A2B3C4D5答案A解析因为顶点(a,0)到渐近线yx的距离d，所以，所以e2.故选A5(2019山东滕州月考)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于()AB1C2D4答案D解析由双曲线1，知a5，由双曲线定义，得|MF2|MF1|2a10，得|MF1|8，所以|NO|MF1|4.6虚轴长为2，离心率e3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|8，则AB
2、F2的周长为()A3B16C12D24答案B解析由于2b2，e3，b1，c3a，9a2a21，a.由双曲线的定义知，|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|，由，得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)，又|AF1|BF1|AB|8，|AF2|BF2|8，则ABF2的周长为16，故选B7(2019全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点若|OP|OF|，则OPF的面积为()ABCD答案B解析由F是双曲线1的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则解得所以P，所以SOPF|OF|y03.故选B8过双曲线1
3、(a0)的右焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|6，若这样的直线有且只有两条，则a的取值范围是()A(0,1(3，)B(0,1)(3，)C(0,1)D(3，)答案B解析若A，B在同一支上，则有|AB|min；若A，B不在同一支上，则|AB|min2a.依题意，得与2a不可能同时等于6，所以或解得a3或0a0，b0)交于A，B两点，且线段AB的中点M的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()ABC2D答案B解析由题意得M(1,2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得kABkOM2.b22a2，即c2a22a2，e.故选B11(2020安徽淮南联考)
4、已知双曲线1的右焦点F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF的周长的最小值为()A4B4(1)C2()D3答案B解析双曲线1的右焦点为F(，0)，设其左焦点为F.APF的周长l|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|，要使APF周长最小，只需|AP|PF|最小如图，当A，P，F三点共线时l取到最小值，且lmin2|AF|2a4(1)故选B12(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()AB2CD答案C解析由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a.在RtPOF2
5、中，cosPF2O，在PF1F2中，cosPF2O，c23a2，e.故选C13已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_答案y21解析根据渐近线方程为x2y0，可设双曲线方程为x24y2(0)因为双曲线过点(4，)，所以424()2，即4.故双曲线的标准方程为y21.14已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且PF1F2，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析根据已知可得，|PF2|且|PF1|，故2a，所以2，双曲线的渐近线方程为yx.15(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别
6、为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_答案2解析解法一：由，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2.又0，F1BF290.|OF2|OB|，OBF2OF2B又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形如图1所示，点B在直线yx上，离心率e2.解法二：0，F1BF290.在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|OB|c.如图2，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F2(c,0)又，A为F1B的中点OAF2
7、B，c2a，离心率e2.16(2020泉州摸底)已知F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，且|F1F2|，P为双曲线C右支上一点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则双曲线的离心率为_，的值为_答案解析由F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，且|F1F2|，可得2c，化简得e2e10.e1，e.设PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，SIPF1|PF1|r，SIPF2|PF2|r，SIF1F22crcr，由SIPF1SIPF2SIF1F2得，|PF1|r|PF2|rcr，故.17平面
8、内一动点P与两定点(1,0)，(1,0)的斜率之积为2.(1)求动点P的轨迹曲线C的方程；(2)过点M(1,1)能否作一条直线l与曲线C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，若能，求出l的方程，若不能，请说明理由解(1)设P(x，y)，则2，化简得x21(x1)(2)假设能，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，又x1x22，y1y22，所以直线l的斜率k2，所以直线l的方程为y2x1.将y2x1代入x21，得2x24x30，此方程无解，与假设矛盾，所以不存在直线l.18已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲
9、线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解(1)双曲线的渐近线为yx，ab，c2a2b22a24，a2b22，双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足()1，x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程，得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，将其代入双曲线方程，得1，即b2c2a2c2a2b2.又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0.e1，e，双曲线的离心率为.1
10、9(2019承德模拟)已知点M(2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|2，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值解(1)由|PM|PN|2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，半实轴长a.又焦距2c4，所以半虚轴长b.所以W的方程为1(x)(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)当ABx轴时，x1x2，y1y2，从而x1x2y1y2xy2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm(k1)，与W的方程联立，消去y得(1k2)x22kmxm220，则x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2
11、(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2m22.又因为x1x20，所以k210.所以2.综上所述，当ABx轴时，取得最小值2.20已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知，得a，c2.由a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)由得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，知ABMN，kAB(k0，m0)，整理得3k24m1.将代入，得m24m0，m4.又3k24m10(k0)，m，又k2，m0，m的取值范围是(4，)
