1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.抛物线y=4x2的焦点坐标是()A.(0,1)B.(1,0)C.0,116D.116,0解析抛物线y=4x2的标准方程为x2=14y,即p=18,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,故焦点坐标为0,116.答案C2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为()A.x29+y216=1B.x225+y216=1C.x225+y216=1或x216+y225=1D.x216+y225=1解析由题意,得2c=6,2a+2b=18,a2=b2+c2,解得a=5,b=4,c=3.椭圆
2、的方程为x225+y216=1或x216+y225=1.答案C3.已知0b0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于()A.24B.22C.14D.12解析设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0.根据题意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且y1-y2x1-x2=-12,所以2a2+2b2-12=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以ca=22,所以e=22.答案B5.已知双曲线x2-y23=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右
3、支上一点,则PA1PF2的最小值为()A.1B.0C.-2D.-8116解析设P(x0,y0),则x02-y023=1,由题意得A1(-1,0),F2(2,0),则PA1PF2=(-1-x0,-y0)(2-x0,-y0)=x02-x0-2+y02,由双曲线方程得y02=3(x02-1),故PA1PF2=4x02-x0-5(x01),可得当x0=1时,PA1PF2有最小值-2,故选C.答案C6.已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0
4、解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2,则e1e2=c1ac2a=a2-b2aa2+b2a=a4-b4a2=32,所以ba=22,所以双曲线C2的渐近线方程为y=bax=22x,即x2y=0.答案A7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为()A.4x221-4y225=1B.4x221+4y225=1C.4x225-4y221=1D.4x225+4y221=1解析由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y),AQ的垂直平分线交CQ于点M,|MA|=|MQ|,又
5、|MQ|+|MC|=5,|MC|+|MA|=5|AC|,依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点,且2a=5,c=1,b=212,故椭圆方程为x2254+y2214=1,即4x225+4y221=1,故选D.答案D8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.3B.2C.233D.2解析设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,a1=ce1.双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=ca,a=ce,设|PF1|
6、=x,|PF2|=y(xy0),则4c2=x2+y2-2xycos60=x2+y2-xy,当点P被看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,当点P被看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,所以1e12+31e2=4,又1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=3,即双曲线的离心率为3.答案A二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)9.两数1,9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线x2
7、a+y2b=1的离心率可能是()A.105B.2105C.45D.25解析由题意得a=5,b=3,当a=5,b=-3时e=5+35=2105,当a=5,b=3时e=25=105.答案AB10.若方程x25-t+y2t-1=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是()A.若t1,则C为双曲线B.若1t5,则C为椭圆C.若C为双曲线,则焦距为4D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3t5解析对于A,当t4,t-10,t-10,5-tt-1,解得3tb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且MF1MF2=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P
8、为曲线C1与C2的一个公共点,若F1PF2=3,则正确的是()A.e2e1=2B.e1e2=32C.e12+e22=52D.e22-e12=1解析因为MF1MF2=0且|MF1|=|MF2|,故三角形MF1F2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c,则c=b=22a,所以e1=22.在焦点三角形PF1F2中,|PF1|=x,|PF2|=y,双曲线C2的实半轴长为a,则x2+y2-xy=4c2,x+y=22c,|x-y|=2a故xy=43c2,从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy=8c23,所以(a)2=2c23即e2=62,故e2e1=3,e2e1=32,e12+e22=2,e22-e12=
9、1.答案BD三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=32x的双曲线的标准方程为.解析由题意2a=6,a=3.当焦点在x轴上时,双曲线的渐近线方程为y=32x,b3=32,b=92.方程为x29-y2814=1;当焦点在y轴上时,双曲线的渐近线方程为y=32x,3b=32,b=2,方程为y29-x24=1.故双曲线的标准方程为y29-x24=1或x29-y2814=1.答案y29-x24=1或x29-y2814=114.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.解析由于抛物线x
10、2=2py(p0)的准线方程为y=-p2,由y=-p2,x2-y2=3解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为A-3+14p2,-p2,B3+14p2,-p2,所以|AB|=23+14p2.由ABF为等边三角形,得32|AB|=p,解得p=6.答案615.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽为米;已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点,则A,B两点间的距离|AB|=.解析以拱顶为坐标原点建立直角坐标系,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向.设抛物线方程为x2=-2py,将点(-2,-2)代入x2=-2py,
11、解得p=1,x2=-2y.水位下降1m后,设直线y=-3与抛物线的交点为(x0,-3),则有x02=6,解得x0=6,水面宽为26m.抛物线方程为x2=-2y,焦点0,-12,即直线方程为y=2x-12,联立方程x2=-2y,y=2x-12,得4y2+36y+1=0,有y1+y2=-9,焦点在y轴负半轴,由焦点弦公式得|AB|=-(y1+y2)+p=10.答案261016.已知点F(-c,0)(c0)是双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点F和另一个点P,且点P在抛物线y2=4cx上,则该双曲线的离心率的平方e2的值为.解析如图,设双曲线
12、的右焦点为F,由题意可知FF为圆x2+y2=c2的直径.设P(x,y)(x0),则有y2=4cx,x2+y2=c2,yx+c=ba,将代入得x2+4cx-c2=0,则x=-4c25c2=-2c5c,即x=(5-2)c或x=(-5-2)c(舍去),将x=(5-2)c代入,得y5c-2c+c=ba,即y=bc(5-1)a,再将x,y的表达式代入,得b2c2(5-1)2a2=4c2(5-2),即b2(5-1)2a2=4(5-2),b2a2=4(5-2)(5-1)2=c2-a2a2=e2-1,解得e2=5+12.答案5+12四、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线x2a2-
13、y2b2=1(a0,b0)的离心率e=233,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点,原点O到直线l的距离是32.(1)求双曲线的方程;(2)过点B作直线m交双曲线于M,N两点,若OMON=-23,求直线m的方程.解(1)依题意得l的方程为xa+y-b=1,即bx-ay-ab=0.由原点O到直线l的距离为32,得aba2+b2=abc=32,又e=ca=233,b=1,a=3.故所求双曲线方程为x23-y2=1.(2)显然直线m不与x轴垂直,设直线m的方程为y=kx-1,则点M(x1,y1),N(x2,y2)是方程组y=kx-1,x23-y2=1的解,消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6
14、=0.依题意知1-3k20,当=36k2-4(1-3k2)(-6)=24-36k20,即k2b0)的离心率为12,焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)记斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,椭圆C上存在点P满足OP=OA+OB,求四边形OAPB的面积.解(1)由题意知c=1,a=2,则b=3,故椭圆C的方程是x24+y23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),设直线l:y=kx+m.由y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,故=48(4k2+3-m2)0且x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2
15、.由OP=OA+OB,可得x0=x1+x2,y0=y1+y2,且点P在椭圆C上,所以(x1+x2)24+(y1+y2)23=1,其中x1+x2=-8km3+4k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2,代入(x1+x2)24+(y1+y2)23=1,化简可得4m2=3+4k2.|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(433+4k2-m2)3+4k2,坐标原点到直线l的距离d=|m|1+k2.所以四边形OAPB的面积S=|AB|d=433+4k2-m2|m|3+4k2=12m24m2=3.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离
16、心率为12,左、右顶点分别为A,B,线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1PA,l2PB,直线l1,l2交于点C.(1)若点C的横坐标为-1,求P点的坐标;(2)直线l1与椭圆M的另一交点为Q,且AC=AQ,求的取值范围.解(1)由题意得ca=12,2a=4,解得a=2,c=1,b2=a2-c2=3.椭圆M的方程是x24+y23=1,且A(-2,0),B(2,0),设P(x0,y0),则kPA=y0x0+2,l1PA,直线AC的方程为y=-x0+2y0(x+2),同理,直线BC的方程为y=-x0-2y0(x-2).联立方程y=-x0+2y0(x+2),y=-x0-2
17、y0(x-2),解得x=-x0,y=x02-4y0,又x02-4y0=4-43y02-4y0=-43y0,点C的坐标为(-x0,-43y0),点C的横坐标为-1,x0=1,又P为椭圆M上第一象限内一点,y0=32,P点的坐标为1,32.(2)设Q(xQ,yQ),AC=AQ,-x0+2=(xQ+2),-43y0=yQ,解得xQ=-x0+2-2,yQ=-43y0,点Q在椭圆M上,14-x0+2-22+13-43y02=1,又y02=31-x024,整理得7x02-36(-1)x0+72-100=0,解得x0=2或x0=36-507,P为椭圆M上第一象限内一点,036-5072,解得25180),由
18、|MA|=|MB|可知直线MF的斜率为-k,即直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由y-y0=k(x-y02),y2=x,消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得yE=1-ky0k,则xE=(1-ky0)2k2.同理可得yF=1+ky0-k,xF=(1+ky0)2k2.故kEF=yE-yFxE-xF=1-ky0k-1+ky0-k(1-ky0)2k2-(1+ky0)2k2=2k-4ky0k2=-12y0(定值).因此,直线EF的斜率为定值.(2)解设动点M(y02,y0).当EMF=90时,MAB=45,k=1.直线ME的方程为y-y0=x-y02.由y-y0=x-y02,y2
19、=x得E(1-y0)2,1-y0).同理可得F(1+y0)2,-(1+y0).设重心G(x,y),则有x=xM+xE+xF3=y02+(1-y0)2+(1+y0)23=2+3y023,y=yM+yE+yF3=y0+(1-y0)-(1+y0)3=-y03,消去参数y0,得y2=19x-227x23.22.(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1,0),椭圆C1过点G1,32,抛物线C2的顶点为原点.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点,过点P作抛物线C2的两条切线PA,PB,其中A、B为切点.设直线PA,PB的斜率分别为k1
20、,k2,求证:k1k2为定值;若直线AB交椭圆C1于C,D两点,SPAB,SPCD分别是PAB,PCD的面积,试问:SPABSPCD是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由.解(1)因为抛物线C2的焦点为(1,0),且顶点为原点,所以p2=1,所以p=2,所以抛物线C2的标准方程为y2=4x,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,则c=1且a2-b2=1,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C1的方程为:x24+y23=1.(2)证明:设P(-1,t),过点P与抛物线y2=4x相切的直线为y-t=k(x+1),由y-t=k(x+1),y2=4x消去x得y2-4ky+4
21、tk+4=0,由=-4k2-44tk+4=0,得k2+tk-1=0,则k1k2=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y1=2k1,y2=2k2,则x1=1k12,x2=1k22,所以直线AB的方程为y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1),所以y-y1=2k2-2k11k22-1k12(x-x1),即y=-2k1+k2(x-1),即直线AB恒过定点(1,0),设点P到直线AB的距离为d,所以SPABSPCD=12d|AB|12d|CD|=|AB|CD|,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k3(x-1),设C(x3,y3),D(x4,y4),由y2=4x,y=k3(x-
22、1),消去y得k32x2-(2k32+4)x+k32=0,k30时,0恒成立,|AB|=(1+k32)(x2-x1)2=(1+k32)16+16k32k34=4(1+k32)k32,由x24+y23=1,y=k3(x-1)消去y得(3+4k32)x2-8k32x+4k32-12=0,0恒成立,则|CD|=(1+k32)(x3-x4)2=(1+k32)144+144k32(3+4k32)2=12(1+k32)3+4k32.所以SPABSPCD=4(1+k32)k3212(1+k32)3+4k32=3+4k323k32=1k32+4343,当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=1,此时|AB|=4,|CD|=3,SPABSPCD=43,所以SPABSPCD的最小值为43.
