1、理科数学 第 页(共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试 理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=x 122x8 ,B=-1,0,1,2 ,则 AB=A.2 B.-1,0 C.0,1,2 D.-1,0,1
2、,2 2.设命题p:xR,exx+1,则p 是A.xR,exx+1B.xR,exx+1C.xR,exx+1D.xR,exx+13.若3+4iz是纯虚数,则复数z 可以是A.-3+4iB.3-4iC.4+3iD.4-3i4.已知ABC 中,D 为BC 边上一点,且BD=13BC,则 AD=A.13AC+23ABB.23AC+13ABC.14AC+34ABD.34AC+14AB5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A.36B.33C.3D.36.如图为甲、乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A.4B.2C.3D.27
3、.已知x+y-30,x-y+10,x0,y0,则x+2y 的最大值为A.2B.3C.5D.68.设f(x)是定义域为 R 的偶函数,且在0,+)上单调递减,则满足f(x)lnn+12.3理科数学 第 页(共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标 M,N,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN|=3,D 为旋杆上的一点且在 M,N 两点之间,且|ND|=|DM|.当滑标 M 在滑槽EF 内做往复运动,滑标 N 在滑槽GH 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当=1和=2时分别得到曲线C1 和C2.如图2所示,设EF 与GH 交于点O,以EF所在的直线为
4、x 轴,以GH 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C1 和C2 的方程;(2)已知直线l 与曲线C1 相切,且与曲线C2 交于 A,B 两点,记OAB 的面积为S,证明:S3 78.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为 x=2pty=2pt2(t为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A,B,以直线 OA 的斜率k为参数,求线段 AB
5、 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|x+a|+2|x-1|.(1)当a=1时,求f(x)的最小值;(2)若a0,b0 时,对 任 意 x 1,2使 得 不 等 式 f(x)x2-b+1 恒 成 立,证 明:a+12 2+b+12 22.4（理科）1开封市 2023 届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案CDDABBCDCACB二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.214.515.4 216.24+2nn三、解答题（共 70 分）17
6、.（1）因为 ABC，所以222BCA，得cossin22BCA，1 分由正弦定理，可得sinsinsinsin2AABA，sin0A，所以sinsin2AB，2 分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB，即2AB，3 分又因为 23ab，即 2sin3sinAB，即 4sincos3sinBBB，4 分sin0B，得3cos4B；5 分（2）若3a，则2b，由（1）知3cos4B，由余弦定理2222cosbacacB可得29502cc，7 分即5202cc，所以2c 或 52，9 分当2c 时，bc，则22ABC，即 ABC为等腰直角三角形，又因为2ab，此时不满足题意，11 分所以52
7、c.12 分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对 1 个成语的概率为 12，所以 2211+1=332pp，解得1=2p.4 分（2）设iA 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，iB 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”0,1,2i，根据独立性假定，得 0121 11124224=2=3 39339339P AP AP A，012111=424P BP BP B，6 分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以001110=9436P XP A B，0110114131=+=+=929418P XP A BP AB，021120114141132=+=+=94929436P XP A BP
8、ABP A B，1221414133=+=+=94929P XP ABP A B，224114=949P XP A B，（理科）2X 的分布列如下表所示：X01234P1363181336391910 分1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X12 分19.（1）取CF 的中点 D，连接 DMDN，MN，分别是 AFCE，的中点，DMACDNEF，又DMABCACABC平面，平面，.DMABC平面2 分又 EFAB，DNAB，同理可得，DNABC平面.3 分=DMMNDDNMNDDMDN D平面，平面，.MNDABC平面平面5 分.MNMNDMNABC平面，平面6 分（
9、2）取 AB 的中点O，连接OCOE，.由已知得=OAEF，OAFE是平行四边形，=OEAF.ABC是正三角形，OCAB，ABCABEF平面平面，=ABCABEF AB平面平面，OCABEF 平面，又OEABEF 平面，OCOE.7 分设1=2AF EF EBAB a，=3OCa，在 Rt COE中，由222+=OCOECE，解得=2a，即1=22AF EF EBAB.8 分取 EF 的中点 P，连接OP，则OPAB，以O为原点，OPOBOC，所在直线分别为 xyz，轴，建立直角坐标系如图所示.则 3 10,2,00,0,2 33,1,0,322ACEN，3 1=0,2,0=,322OAON，
10、由已知易得，平面 ABM 的一个法向量为=0,0,2 3OC，9 分设平面 ABN 的法向量为=,x y zn,则2=0=0313z=0=022yOAxyON，即，nn取2x，则平面 ABN 的一个法向量为=2,0,1n.10 分2 35cos,=52 35OOCOCC nnn，11 分二面角-M AB N 为锐角，二面角-M AB N 的余弦值为55.12 分20.（1）由已知可得：0cos2)(axxf，1 分即xacos2恒成立，则有2,(a.3 分（2）由已知可得：111cos2)(xxxg，令()=()h xg x，21()2sin(1)h xxx 在0,6 上单调递减，4 分（理科
11、）3又因为，(0)h0，()6h 0，所以存在)6,0(0 x使得()0h x，5 分则有又有115(0)=0()3131=301631162gg ，所以在(0,)6上)(xg0，7 分则)(xg在6,0 x上单调递增，所以最小值为0)0(g.8 分（3）由（2）可得xxx)1ln(sin2在(0,)6上恒成立，令()=ln+1xxx，在(0,)6上()=0+1x xx，所以()x单调递增且(0)0，所以ln(1)xx，)1ln(2sin2xx，从而当(0,)6x时)1ln(sinxx，10 分令nx1,41,31,21，得到23ln21sin，34ln31sin，45ln41sin，nnn1
12、ln1sin，相加得：11111sinsinsinsinln2342nn.12 分21.（1）由题意，NDDM，设00,00,，D x yM xNy所以00,=,，NDx yyDMxxy00,=,，x yyxxy1 分由00=，xxxyyy解得001+=1+，xxyy又因为2200+=9，xy所以 222221+1+=9，xy3 分将=1=2和分别代入，得2219+=4：，Cxy4 分222+=1.4xCy：5 分（2）直线l 斜率不存在时，3=2lx：，带入2C 方程得7=2AB，所以3 7=8S；6 分直线l 斜率存在时，设=+ly kx m：，l 与曲线1C 相切，所以2229+13=2
13、4+1kmmk，即，7 分联立22+=14=+xyy kx m，可得2221+4+8+44=0kxkmxm，x),0(0 x)6,(0 x()h x正负)(xg递增递减（理科）4222225=6416 1 4107k mkmk由得，2121222418=1 41 4mkmxxx xkk，8 分2222222212121 2224 1+1+42 1+75=1+=1+4=1+41+4kkmkkABkxxkxxx xkk，10 分422424 7+25=16+8+1kkABkk，因为 42242424 7+2572487=016+8+144 16+8+1kkkkkkk，所以72AB，3 78S.11
14、 分综合可证，3 78S.12 分22.（1）消去参数 t 可得：22xpy，将点2,4 带入可得12p，2 分所以曲线 C 的普通方程为：yx 2.4 分（2）由已知得：OBOA,的斜率存在且不为 0，设OA 的斜率为 k，方程为kxy，则OB 的方程为：xky1，联立方程2ykxxy，可得：2,kkA，同理可得：211,Bk k，6 分设yxM,，所以22112112xkkykk，8 分所以24x222122ykk，所以22x1y即为点 M 轨迹的普通方程.10 分23.（1）当1a 时，121xxxf，当 min1,31,14;xf xxf xf 当 11,3,2,4;xf xxf x 当 min1,31,12;xf xxf xf2 分当1a 时，f x 的最小值为 2.4 分（2）00ab，当12x时，221+1xaxxb可化为233abxx6 分令 233h xxx，1,2x，max11h xh，1ab，8 分222221111222222ababababab.10 分
