1、1.1导_数11.1函数的平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？提示：自变量x的改变量为x1x0，记作x，函数值的改变量为y1y0，记作yy1y0.问题2：y的大小能否判断山坡陡峭程度？提示：不能问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB来说，可近似地刻画问题4：能用刻画山路陡峭程度的
2、原因是什么？提示：因表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山坡越陡，反之，山坡越缓问题5：从A到B，从A到C，两者相同吗？提示：不相同函数的平均变化率一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，则当x0时，商 称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或x0x，x0)的平均变化率对平均变化率的理解(1)x0，x1是定义域内不同的两点的横坐标，因此x0，但x可正也可负；yf(x1)f(x0)是相应xx1x0的改变量，y的值可正可负，也可为零因
3、此，平均变化率可正可负，也可为零(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量x有关，与x0也有关同一个函数，不同的x0与不同的x其平均变化率往往都是不同的(3)平均变化率表示点(x0，f(x0)与点(x1，f(x1)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势求函数的平均变化率例1求yf(x)2x21在区间x0，x0x的平均变化率，并求当x01，x时平均变化率的值思路点拨先求函数值的增量y，再求，然后代入已知数据求解精解详析yf(x0x)f(x0)2(x0x)21(2x1)4x0x2(x)2，函数f(x)2x21在区间x0，x0x的平均变化率为4x02x，当
4、x01，x时，平均变化率为4125.一点通求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y，求平均变化率的主要步骤是：1如果函数yaxb在区间1,2上的平均变化率为3，则a()A3B2C3 D2解析：根据平均变化率的定义，可知a3.答案：C2已知函数f(x)2x24的图像上一点(1，2)及附近一点(1x，2y)，则等于()A4 B4xC42x D42(x)2解析：yf(1x)f(1)2(1x)224x2(x)2，42x.答案：C3计算函数f(x)x2在区间1,1x(x0)的平均变化率，其中x的值为：(1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.并思考：
5、当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：yf(1x)f(1)(1x)212x22x，x2.(1)当x2时，x24；(2)当x1时，x23；(3)当x0.1时，x22.1；(4)当x0.01时，x22.01.当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.比较平均变化率的大小例2(12分)已知函数f(x)3x2，计算当x01,2,3，x时，平均变化率的值，并比较函数f(x)3x2在哪一点附近的平均变化率最大？精解详析函数f(x)3x2在x0到x0x之间的平均变化率为(2分)2x0x.(4分)当x01，x时，平均变化率的值为，(6
6、分)当x02，x时，平均变化率的值为，(8分)当x03，x时，平均变化率的值为，(10分)，函数f(x)3x2在x01附近的平均变化率最大(12分)一点通(1)比较平均变化率大小的步骤：(2)函数的平均变化率的大小反映的是函数的图像在该点x0附近的“陡峭”程度，其绝对值越大，则在该处附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快4求函数yx2在x1,2,3附近的平均变化率，取x的值为，哪一点附近平均变化率最大？解：在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.若x，则k12，k24，k36.由于k1k2k2 Bk10，故k1k2.答案：A5已知函数yf(x)，则此函数在区间1,1x的平均变化率为_解析：.答案：6已知曲线y1上两点A，B，当x1时，割线AB的斜率为_解析：x1,2x3，y.kAB.答案：7求函数yf(x)在区间1,1x内的平均变化率解：yf(1x)f(1)1，函数y在区间1,1x内的平均变化率为.8试求余弦函数ycos x在区间和的平均变化率，并比较大小解：当自变量在0到之间变化时，函数的平均变化率为，当自变量在到之间变化时，函数的平均变化率为，显然函数在区间的平均变化率大
