1、湖南省娄底市春元中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单选题（每题5分）1已知数列满足，若，则等于A1B2C128D642等比数列中，则（ ）A10B25C50D753命题p：“，都有”，则命题p的否定为（ ）A都有B都有C使D使4已知，均为实数，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则5“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知不等式的解集是，则的值为（ ）A1BC-2D07已知，则的最小值为（ ）A16B4CD8已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）ABCD二、多选题
2、（每题5分，小选得3分，多选得0分）9在等比数列an中，a54，a716，则a6可以为（ ）A8B12C8D1210已知椭圆的离心率，则的值为（ ）A3BCD11已知双曲线E的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程可以是（ ）ABCD12设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为3B的最大值为1C的最小值为2D的最小值为2三、填空题（每题5分）13数列中，.若其前项和为40，则_.14已知是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_。15直线交椭圆于两点，线段中点坐标为，则直线的方程为_16命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为_.四、解答题17（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，
3、当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（5分）（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？（5分）18已知：方程表示焦点在轴上的椭圆，：双曲线的离心率.（12分）（1）若椭圆的焦点和双曲线的顶点重合，求实数的值；（2）若与均是真命题，求实数的取值范围19已知.（12分）（1）当时，求不等式的解集；（2）解关于x的不等式.20已知椭圆（）过点（0，2），离心率.（12分）（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于两点，求.21已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .（12分）（）求数列的通项公式；（）设， 求数列的前
4、项和.22已知直线与双曲线；（12分）（1）当a为何值时，直线与双曲线有一个交点；（2）直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点，求a值参考答案1D【解析】因为数列满足，所以该数列是以为公比的等比数列，又，所以，即；故选D.2B【解析】【分析】根据等比数列的性质计算【详解】等比数列中，故选：B【点睛】本题考查等比数列的性质，利用等比数列的性质解题可以减少计算量本题属于基础题3C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题p：“，都有”是全称量词命题所以命题p的否定为存在量词命题，即：使故选：C【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4
5、C【解析】【分析】根据不等式的性质对各个选项逐一验证，即可得到结果.【详解】若，则；故选项A错误；若，则，即，故选项B错误；若，则，所以，故选项C正确；若，则；若，则；故选项D错误；故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5A【解析】【分析】根据椭圆的定义和充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】方程表示焦点在x轴上的椭圆.则，即.所以当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.取时，方程也表示焦点在x轴上的椭圆，而此时不满.所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的方程和性质是解决本题的关键属于 基础题
6、.6D【解析】【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求后可得【详解】由已知得，解得，故，故选：D【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求参数，掌握三个“二次”之间的关系是解题关键7C【解析】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【详解】因为，则，当且仅当且即，时取等号故选：C【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题8B【解析】【分析】根据圆与圆相切的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设圆C的半径为R，由题意可知，两圆的圆心为：，可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，则动圆圆心C的轨迹方程为.故选：B【点睛】本题考查圆与圆相
7、切的性质、考查了由双曲线的定义求轨迹方程，考查推理论证能力.9AC【解析】【分析】求出等比数列的公比，再利用通项公式即可得答案；【详解】，当时，当时，故选：AC.【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题.10AB【解析】【分析】分焦点在、轴上讨论，分别求出的值【详解】解：由题意知，当时，解得；当时，解得；故选：AB【点睛】本题主要考查椭圆的方程、离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题11ACD【解析】【分析】分别求出四个选项中双曲线的渐近线方程可得结果.【详解】选项A中,所以双曲线有一条渐近线方程为，选项C中，所以双曲线有一条渐近线方程为，选项D中，所以双曲线有一条
8、渐近线方程为，选项B中，所以双曲线的渐近线方程都是.故选：ACD.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题.12ABD【解析】【分析】由已知结合基本不等式及相关变形，结论分别检验各选项即可判断.【详解】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确故选：ABD【点睛】本题主要考查了基本不等式及结论的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.134【解析】
9、【分析】根据等比数列的定义可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列前项和公式即可求出结果.【详解】因为数列中，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列；所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义和前项和公式的应用，属于基础题.14【解析】【分析】解出的解，通过必要非充分条件得出集合间的包含关系，利用包含关系列不等式求解即可。【详解】解：由已知不等式的解集为：，则是的必要非充分条件，或，若，则，综合得：，故答案为：【点睛】本题通过充分性和必要性，考查集合间的包含关系，注意不要遗漏空集的情况，是基础题。15，【解析】【分析】设出两点的坐标，利用点差法计算出直线的斜
10、率，根据点斜式求得直线的方程.【详解】设，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即，由点斜式得，即.故填：.【点睛】本小题主要考查椭圆中有关弦的中点的问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16【解析】【分析】，使是假命题，则，使是真命题，对是否等于进行讨论，当时不符合题意，当时，由二次函数的图像与性质解答即可【详解】，使是假命题，则，使是真命题，当，即，转化为，不是对任意的恒成立；当，使即恒成立，即 ，第二个式子化简得，解得或所以【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出，使是真命题这一条件，属于一般题17（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度
11、为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.【解析】【分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由已知得，由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此
12、，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.18（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出椭圆半焦距的平方，根据题意列方程，解得结果；（2）先分别求出真、真时的取值范围，再求交集的结果.【详解】（1）由，得；（2）据题意有，与同时为真，若真，则，解得，若真时，则，解得，当真、真时，实数的取值范围是【点睛】本题考查根据椭圆方程与双曲线方程求基本量、根据复合命题真假求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19（1）.
13、（2）时，不等式无解；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解的结果，直接得到答案；（2）对与2的大小关系分三种情况讨论，可得结果.【详解】（1）时，不等式化为，解得或，不等式的解集为.（2）关于x的不等式，即；当时，不等式化为，不等式无解；当时，解不等式，得；当时，解不等式，得；综上所述，时，不等式无解，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.20解：（） （）【解析】分析：（1）椭圆过M，故可将点M代入方程得到b，在根据离心率即可得到椭圆方程；（2）连立直线和椭圆可求出弦长A
14、B，在利用点到直线的距离公式得出高，根据三角形面积公式即可得出结论.详解：（）由题意得代入点M可得：结合，解得所以，椭圆的方程为. 5分（）由得6分即，经验证. 设.所以， 8分，10分因为点到直线的距离， 12分所以. 13分点睛：本题考查椭圆的标准方程和基本性质，考查直线的圆的关系，解本题关键就是要熟悉椭圆的一些基本几何关系，属于基础题.21（）.（）【解析】【分析】（）利用已知条件求出首项与公差，然后根据等比数列的通项公式，即可求出结果； （）先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解析：（）由题意可得：， ，数列的通项公式为.（） ， 上述两式相减 可得 =【点睛】本题考查等比
15、数列通项公式的求法，以及利用错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题22（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由直线与双曲线只有一个交点，分直线平行于双曲线渐近线和不平行于渐近线进行讨论，不平行时联立用判别式等于0求解即可；（2）因为以PQ为直径的圆过坐标原点，所以，即，联立直线与双曲线方程，由韦达定理列出方程求解即可.【详解】解：（1）直线过定点（0,1），双曲线渐近线方程为 当直线与双曲线平行时，只有一个交点，此时；当时，联立与得：若直线与双曲线只有一个交点，则，解得所以，当或时，直线与双曲线有一个交点；（2）设点，联立与得：所以 ， 因为以PQ为直径的圆过坐标原点，所以 所以解得.【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程得韦达定理是解决这类题常用的方式.
