1、2016年福建省漳州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z=（）A|z|=2B =1iCz的实部为1Dz+1为纯虚数2已知sin（x）=，则cos（x+）=（）ABCD3已知命题p：mR，sinm=，命题q：xR，x2+mx+10恒成立，若pq为假命题，则数m的取值范围是（）Am2Bm2Cm2或m2D2m24从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为（）ABCD5执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（）A31B63C6
2、4D1276在ABC中，AB=3，AC=，B=，则ABC的面积是（）ABC2D37在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A7B7C28D288已知函数f（x）=有最小值，则实数a的取值范围是（）A（4，+）B4，+）C（，4D（，4）9己知O为坐标原点，双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径作圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且=2，则双曲线的离心率等于（）ABC2D310如图，网格的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积是（）A1BCD211已知点P在ABC内（不含
3、边界），且=x+y，则的取值范围为（）A（，1）B（，1）C（，1）D（，）12已知函数f（x）=cos（sinx）+sin（cosx）则下列结论正确的是（）Af（x）的周期为Bf（x）在（，0）上单调递减Cf（x）的最大值为Df（x）的图象关于直线x=对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13设向量，是夹角为的单位向量，若=+，则|=14直线y=kx+3被圆（x2）2+（y3）2=4截得的弦长为2，则k=15在四面体PABC中，PA平面ABC，ABC为正三角形，PA=2，AB=3，则该四面体外接球的表面积等于16已知x1，x2R，则（x1e）2+（x
4、2e）2的最小值为三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知递增的等差数列an的前n项和为Sn，a2，a4，a8成等比数列，且Sn5an的最小值为20（I）求an；（）设bn=a1n+，求数列bn的前n项和Tn18某鞋店随机抽取了一年内100天的日销售量（单位：双），结果统计如表：日销售量0，100100，200200，300300，400日销售量等级差中良优秀天数20452015（1）若本次抽取的样本数据有30天是夏季，其中有8天为销售量等级优秀，根据提供的统计数据，完成下面的22列联表，并判断是否有95%有把握认为“该鞋店日销售等级为优秀与季节有
5、关”？非优秀优秀总计夏季非夏季总计100（2）已知该鞋店每人固定成本为680元，每双鞋销售利润为6元，试估计该鞋店一年的平均利润附：K2=P（K2k0）0.10.050.0250.010.001k02.7063.8415.0246.63510.82819如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为菱形，AD=PD，DAB=60点分E，F，G，H别是棱AB，CD，PC，PB上共面的四点，且BCEF（1）证明：GHEF；（2）若点E，F，G，H分别是棱AB，CD，PC，PB的中点，求二面角EGHB的余弦值20已知抛物线C1：x2=2py的焦点F与椭圆C2： +y2=1的上顶点重合，
6、直线MN：y=kx+m与抛物线C1交于M、N两点，分别以M、N为切点作曲线C1的两条切线交与点P（1）求抛物线C1的方程；（2）若直线MN过抛物线C1的焦点，判断点P是否在抛物线C1的准线上，并说明理由；若点P在椭圆C2上，求PMN面积S的最大值及相应的点P的坐标21已知函数f（x）=cosx+x21（aR）（1）证明：当a1时，f（x）有唯一的零点；（2）若f（x）0恒成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是O的割线，AC=AB（1）证明：AC2=ADAE；（2）证明：FGAC选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐
7、标系xOy中，圆C的参数方程为（其中为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线=和=（0）与圆C分别异于极点O的A，B两点（1）求圆C的极坐标方程；（2）求|OA|+|OB|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+a|2x3|，aR（1）若a=2，求不等式f（x）3的解集；（2）若存在实数x使得f（x）2a成立，求实数a的取值范围2016年福建省漳州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数z=（）A|z|=2B =1iCz
8、的实部为1Dz+1为纯虚数【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，则答案可求【解答】解：z=，z+1=i为纯虚数故选：D2已知sin（x）=，则cos（x+）=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用诱导公式，可得cos（x+）=sin（x），即可得出结论【解答】解：x+x+=，cos（x+）=sin（x）=故选A3已知命题p：mR，sinm=，命题q：xR，x2+mx+10恒成立，若pq为假命题，则数m的取值范围是（）Am2Bm2Cm2或m2D2m2【考点】复合命题的真假【分析】命题p：由于sinm=1，1，可得p是真命题若命题q是真命题：则0，解
9、得2m2若pq为真命题，p与q都为真命题：可得2m2即可得出pq为假命题时m的取值范围【解答】解：命题p：mR，sinm=1，1，是真命题命题q：xR，x2+mx+10恒成立，则=m240，解得2m2若pq为真命题，p与q都为真命题：可得2m2pq为假命题，m2或m2故选：C4从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解【解答】解：P（A）=，P（AB）=由条
10、件概率公式得P（B|A）=故选：D5执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（）A31B63C64D127【考点】程序框图【分析】方法一：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k6，输出S的值为63，方法二：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出20+21+22+23+24+25值，并输出【解答】解：方法一：执行程序框图，有k=0，S=0满足条件k6，S=1，k=1满足条件k6，S=1+2=3，k=2满足条件k6，S=3+22=7，k=3，满足条件k6，S=7+23=15，k=4满足条件k6，S=15+24=31，k
11、=5，满足条件k6，S=31+25=63，k=6不满足条件k6，输出S的值为63方法二：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+21+22+23+24+25=63故选：B6在ABC中，AB=3，AC=，B=，则ABC的面积是（）ABC2D3【考点】正弦定理【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：在ABC中，AB=3，AC=，B=，由余弦定理：AC2=AB2+BC22ABBCsinB，可得：13=9+BC223BC，整理解得：BC=4或1（舍去）SABC=ABBCsinB=34=3故选：D7在（）n的展
12、开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A7B7C28D28【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项【解答】解：依题意， +1=5，n=8二项式为（）8，其展开式的通项令解得k=6故常数项为C86（）2（）6=7故选B8已知函数f（x）=有最小值，则实数a的取值范围是（）A（4，+）B4，+）C（，4D（，4）【考点】函数的最值及其几何意义【分析】按分段函数分类讨论函数值的取值，从而确定a的取值范围【解答】解：当x0时，f（x）=x+2=4，（当且仅当x=，即x=2时，等
13、号成立）；当x0时，a2x+a1+a，函数f（x）=有最小值，a4，故选B9己知O为坐标原点，双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径作圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且=2，则双曲线的离心率等于（）ABC2D3【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=x上，建立方程关系进行求解即可【解答】解：双曲线的渐近线方程l1，y=x，l2，y=x，F（c，0），圆的方程为x2+y2=，将y=x代入x2+y2=，得x2+（x）2=，即x2=，则x2=，则x=，此时y=，即A（，），设
14、B（m，n），则n=m，则=（m，n），=（c，），=2，（m，n）=2（c，）=（a2c，b）则m=a2c，n=b，即m=a2c，n=b，即b=（a2c）=b+b，即3b=b，则=3，故选：D10如图，网格的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积是（）A1BCD2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体一个三棱锥，把三棱锥放在对应的正方体，由三视图求出几何元素的长度，由正方体的位置关系和椎体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：三棱锥DABC，其中外面的是正方体，棱长为2，几何体的体积是V=，
15、故选：B11已知点P在ABC内（不含边界），且=x+y，则的取值范围为（）A（，1）B（，1）C（，1）D（，）【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】由条件及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义便可得出x，y（0，1），并且有y趋向1时，x趋向0，而y趋向0时，x趋向1，而对于：y越大，x越小时其值越大，反之越小，这样便可得出，即得出的取值范围【解答】解：如图，根据条件及得：0x1，0y1；y越大，x越小时，越大，且y趋向1时，x趋向0；同样，y越小，x越大时，越小，且y趋向0时，x趋向1；即的取值范围为故选：A12已知函数f（x）=cos（sinx）+sin（cosx）则下列结
16、论正确的是（）Af（x）的周期为Bf（x）在（，0）上单调递减Cf（x）的最大值为Df（x）的图象关于直线x=对称【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】验证f（0）与f（）是否相等判断A，根据复合函数的单调性判断B，计算f（0）与比较大小判断C【解答】解：（A）f（0）=cos0+sin1=1+sin1，f（）=cos0+sin（1）=1sin1不是f（x）的周期故A错误（B）当x（，0）时，y=sinx为增函数，y=cosx为增函数，且sinx（，0），cosx（0，）y=sin（cosx）是增函数，y=cos（sinx）是增函数，f（x）在（，0）上是增函数，故B错误（C）f（0）=co
17、s0+sin1=1+sin1=，不是f（x）的最大值，故C错误（D）f（+x）=cossin（+x）+sincos（+x）=cos（sinx）+sin（cosx）=cos（sinx）sin（cosx）f（x）=cossin（x）+sincos（x）=cos（sinx）+sin（cosx）=cos（sinx）sin（cosx）f（+x）=f（x）x=是f（x）的对称轴，故D正确故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13设向量，是夹角为的单位向量，若=+，则|=1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知求得，再由|=|=，展开后得答案【解答】解：，且
18、，的夹角为，则|=|=故答案为：114直线y=kx+3被圆（x2）2+（y3）2=4截得的弦长为2，则k=1【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线y=kx+3的距离d，根据弦长公式列出方程求出k的值【解答】解：由题意得，圆心坐标是（2，3），半径r=2，圆心到直线y=kx+3的距离d=，截得的弦长为2，且，解得k=1，故答案为：115在四面体PABC中，PA平面ABC，ABC为正三角形，PA=2，AB=3，则该四面体外接球的表面积等于16【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心
19、连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AB=3，ABC为正三角形，AE=PA=2，AO=2所求球的表面积为：422=16故答案为：1616已知x1，x2R，则（x1e）2+（x2e）2的最小值为2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】本题应用了两点间距离公式，及导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可【解答】解：由题意可转化为点A（）与点B（）间的距离最小值的平方点A在函数y=ex上，点B在函数y=lnx上，这两个函数关于y=x对称，所以转化为函数y=lnx与y
20、=x的距离的最小值2倍的平方此时，y=lnx斜率为1的切线方程为y=x1，它与y=x的距离为故原式的最小值为2故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知递增的等差数列an的前n项和为Sn，a2，a4，a8成等比数列，且Sn5an的最小值为20（I）求an；（）设bn=a1n+，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（I）通过记等差数列an的公差为d（d0），利用a2，a4，a8成等比数列化简可知d=a1，通过Sn5an的最小值为20即可确定d=2，进而计算可得结论；（）通过（I）a1=2、裂项可知=，进而利
21、用分组法求和及并项相消法计算即得结论【解答】解：（I）记等差数列an的公差为d（d0），a2，a4，a8成等比数列，=a2a8，即=（a1+d）（a1+7d），整理得：d2=a1d，即d=a1，Sn5an=d5nd=（n29n），n29n=，且4236=5245=20，20=20，即d=2，an=2n；（）由（I）可知Sn=n（n+1），a1=2，bn=a1n+=2n+（），Tn=（2+22+2n）+（1+）=+（1）=2n+1118某鞋店随机抽取了一年内100天的日销售量（单位：双），结果统计如表：日销售量0，100100，200200，300300，400日销售量等级差中良优秀天数2045
22、2015（1）若本次抽取的样本数据有30天是夏季，其中有8天为销售量等级优秀，根据提供的统计数据，完成下面的22列联表，并判断是否有95%有把握认为“该鞋店日销售等级为优秀与季节有关”？非优秀优秀总计夏季非夏季总计100（2）已知该鞋店每人固定成本为680元，每双鞋销售利润为6元，试估计该鞋店一年的平均利润附：K2=P（K2k0）0.10.050.0250.010.001k02.7063.8415.0246.63510.828【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由题意得22列联表，利用公式求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）求出该鞋店日平均销售量、日平均利润，即可估计该鞋店一年的平均
23、利润【解答】解：（1）由题意得22列联表：非优秀优秀总计夏季22830非夏季63770总计8515100K2=4.5753.841，有95%有把握认为“该鞋店日销售等级为优秀与季节有关”；（2）由题意得，该鞋店日平均销售量为50+150+250+350=180双，则该鞋店的日平均利润为1806680=400元，可估计该鞋店一年的平均利润为400365=146000元19如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为菱形，AD=PD，DAB=60点分E，F，G，H别是棱AB，CD，PC，PB上共面的四点，且BCEF（1）证明：GHEF；（2）若点E，F，G，H分别是棱AB，CD，P
24、C，PB的中点，求二面角EGHB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明BC平面EFGH即可；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可【解答】解：（1）BCEF，BC平面EFGH，EF平面EFGH，BC平面EFGH，BC平面PBC，平面PBC平面EFGH=GH，GHBC，BCEF，GHEF（2）ABCD是菱形，ACBD，设ACBD=O，则O是BD的中点，H是PB的中点，OHPD，PD平面ABCD，OH平面ABCD，建立以O为坐标原点，OA，OB，OH分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AD=2，
25、则A（，0，0），B（0，1，0），E（，0），H（0，0，1），C（，0，0），D（0，1，0），F（，0），G（，1），设平面EGH的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，则y=，z=0，即=（1，0），设平面BGH的法向量为=（x，y，z），则，则，令x=1，则y=z=，即=（1，），cos，=，二面角EGHB是锐二面角，二面角EGHB的余弦值是20已知抛物线C1：x2=2py的焦点F与椭圆C2： +y2=1的上顶点重合，直线MN：y=kx+m与抛物线C1交于M、N两点，分别以M、N为切点作曲线C1的两条切线交与点P（1）求抛物线C1的方程；（2）若直线MN过抛物线C1的焦点，
26、判断点P是否在抛物线C1的准线上，并说明理由；若点P在椭圆C2上，求PMN面积S的最大值及相应的点P的坐标【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】（1）利用抛物线C1：x2=2py的焦点F与椭圆C2： +y2=1的上顶点重合，求出p，即可求抛物线C1的方程；（2）求出以M、N为切点的切线方程，联立可得P（，），直线MN过抛物线C1的焦点，方程为y=kx+1，与抛物线x2=4y联立，消去y，可得x24kx4=0，即可证明点P在抛物线C1的准线上；由，消去y得x24kx4m=0，求出|MN|，P到直线MN：kxy+m=0的距离d=，可得PMN的面积S=|MN|d，即可求PMN面积S的最大值
27、及相应的点P的坐标【解答】解：（1）椭圆C2： +y2=1的上顶点为（0，1），抛物线C1：x2=2py的焦点F与椭圆C2： +y2=1的上顶点重合，=1，p=2，抛物线C1的方程为x2=4y；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1=x12，y2=x22，y=x2，y=x，以M为切点的切线方程为yy1=x1（xx1），即y=x1xx12，同理以N为切点的切线方程为y=x2xx22，联立可得P（，）直线MN过抛物线C1的焦点，方程为y=kx+1，与抛物线x2=4y联立，消去y，可得x24kx4=0，x1x2=4，P（，1）抛物线C1的准线方程为y=1，点P在抛物线C1的准线上；由，消
28、去y得x24kx4m=0，x1+x2=4k，x1x2=4m，P（，）可化为P（2k，m）代入椭圆方程得k2+m2=1，|MN|=|x1x2|=4P到直线MN：kxy+m=0的距离d=，PMN的面积S=|MN|d=4|k2+m|=4=44=，即m=时，S取最大值，此时k=，点P坐标为（，）21已知函数f（x）=cosx+x21（aR）（1）证明：当a1时，f（x）有唯一的零点；（2）若f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导，构造辅助函数g（x）=f（x）=sinx+ax，则g（x）=cosx+a，当a1时，可知g（x）
29、在R上单调递增，g（0）=0，即可判断f（x）在0，+）上为增函数，在（，0）上为减函数，由f（x）=0，即可证明，当a1时，f（x）有唯一的零点；（2）分类，当a0时，由函数的单调性可知f（）0，不满足f（x）0；当0a1，设h（x）=f（x）=sinx+ax，根据余弦函数性质可知存在x0（0，），使得cosx0=a，且h（x）=sinx+ax在0，x0）上为减函数，f（x）在0，x0）为减函数，故当x（0，x0）时，f（x）f（0）=0，不符合题意，由（1）可知：当a1时，f（x）0，因此，若f（x）0，实数a的取值范围1，+）【解答】解：（1）证明：因为f（x）=sinx+ax（xR）令
30、g（x）=sinx+ax，则g（x）=cosx+a，所以当a1时，g（x）=cosx+a0，即g（x）在R上单调递增，又g（0）=sin0=0，所以x0，+），f（x）0，当x（，0），f（x）0，所以f（x）在0，+）上为增函数，在（，0）上为减函数，又f（0）=0，所以当x0，+），f（x）0，当x（，0），对xR恒成立，即当a1时，f（x）0，且当且仅当x=0，f（x）=0，故当a1时，f（x）有唯一的零点；（2）当a0时，f（）=（）2110，所以当a0，不符合题意；当0a1时，因为f（x）=sinx+ax，设h（x）=sinx+ax，x（0，），h（x）=cosx+a，因为a（0，1
31、），所以存在x0（0，），使得cosx0=a，因为cosx在（0，）上为单调递减，所以当x0，x0），h（x）0，h（x）=sinx+ax在0，x0）上为减函数，即f（x）=h（x）h（0）=0，所以f（x）在0，x0）为减函数，故当x（0，x0）时，f（x）f（0）=0，故当0a1不符合题意，当a1时，由（1）知，f（x）0，综上，若f（x）0，实数a的取值范围1，+）选修4-1：几何证明选讲22如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是O的割线，AC=AB（1）证明：AC2=ADAE；（2）证明：FGAC【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【分析】（1）利用切
32、线长与割线长的关系及AB=AC进行证明（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行【解答】证明：（1）因为AB是O的一条切线，AE为割线所以AB2=ADAE，又因为AB=AC，所以ADAE=AC2（2）由（1）得EAC=DAC，ADCACE，ADC=ACEADC=EGF，EGF=ACE，GFAC选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（其中为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线=和=（0）与圆C分别异于极点O的A，B两点（1）求圆C的极坐标方程；（2）求|OA|+|OB|的最大值【考点】参数方程化成普通
33、方程【分析】（1）先求出圆的普通方程，再转化为极坐标方程；（2）由圆的参数方程可得|OA|=4cos，|OB|=4cos（），使用三角恒等变换及的取值范围得出|OA|+|OB|的最大值【解答】解：（1）圆的普通方程为（x2）2+y2=4，即x2+y24x=0，圆C的极坐标方程为24cos=0，即=4cos（2）|OA|=4cos，|OB|=4cos（），|OA|+|OB|=4cos+4cos（）=4cos+2cos+2sin=6cos=4sin（）0，当=即时，|OA|+|OB|取得最大值4选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+a|2x3|，aR（1）若a=2，求不等式f（x）3
34、的解集；（2）若存在实数x使得f（x）2a成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值的性质表示出f（x）的最大值，解不等式|a+3|2a即可【解答】解：（1）f（x）=，由f（x）3，得或x，解得：x或x，x，不等式的解集是，+）；（2）f（x）=|2x+a|2x3|2x+a2x+3|=|a+3|，当且仅当（2x+a）（2x3）0且|2x+a|2x3|时，如取x= “=”成立，f（x）的最大值为|a+3|，|a+3|2a，a0时，上式成立，当a0时，a+32a，0a3，综上，a的范围是（，32016年8月1日
