1、第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2R一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2小题体验1(2019温州模拟)已知集合Ax|x23x20，Bx|x1，则AB()A(1,2)B(2，)C(1，) D解析：选A由题意知，Ax|1x2，故ABx|1x22(教材习题改编)不等式x22x30的解集为_答案：3不等式ax2abxb0的解集为x|2x3，则a_，
2、b_.解析：由题意知2,3是ax2abxb0的两根，则得答案：51对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0时，ax2bxc0(a0)的解集为R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论小题纠偏1不等式0的解集为()Ax|x1或x3 Bx|1x3Cx|1x3 Dx|1x3解析：选C由0，得解得1x3.2若不等式mx22mx10的解集为R，则m的取值范围是_解析：当m0时，10显然成立当m0时，由条件知得0m1.由知0m1.答案：0,1)题组练透1已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集是_解析：当x0时，原不等式等价于2x21x2，x0；当x0时，原
3、不等式等价于2xx2，x0.综上所述，原不等式的解集为.答案：2不等式1的解集为_解析：将原不等式移项通分得0，等价于解得x5或x.所以原不等式的解集为.答案：3解下列不等式：(1)(易错题)3x22x80；(2)2.解：(1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)不等式等价于即解得x1或1x3.所以原不等式的解集为.谨记通法解一元二次不等式的4个步骤典例引领解关于x的不等式ax2(a1)x10(a0)解：原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0，所以当a1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0
4、a1时，不等式的解集为.当a1时，不等式的解集为.当a1时，不等式的解集为.由题悟法解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式提醒当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况即时应用1已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()A(2,3)B(，2)(3，)C.D.解析：选A由题意知，是方程ax2bx
5、10的根，所以由根与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0，即为x25x60，解集为(2,3)2若不等式ax25x20的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax25xa210的解集解：(1)由题意知a0，且方程ax25x20的两个根为，2，代入解得a2.(2)由(1)知不等式为2x25x30，即2x25x30，解得3x，即不等式ax25xa210的解集为.锁定考向一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出
6、参数的取值范围常见的命题角度有：(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围；(2)形如f(x)0(xa，b)确定参数的范围；(3)形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围 题点全练角度一：形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围1若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0) B3,0)C3,0 D(3,0解析：选D当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0角度二：形如f(x)0(xa，b)确定参数的范围2已知函数f(
7、x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1,1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围为_解析：由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)开口向下，所以当x1,1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.所以b的取值范围为(，1)(2，)答案：(，1)(2，)角度三：形如f(x)0(参数ma，b)确定x的范围3若不等式x2(a6)x93a0在|a|1时恒成立，则x的取值范围是_解析：将原不等式整理成关于a的不等式(x3)ax26x
8、90.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以(1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若x3，则由一次函数的单调性，可得即解得x2或x4.故x的取值范围是(，2)(4，)答案：(，2)(4，)通法在握一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法方法解读适合题型判别式法(1)ax2bxc0对任意实数x恒成立的条件是(2)ax2bxc0对任意实数x恒成立的条件是二次不等式在R上恒成立(如“题点全练”第1题)分离参数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解：af(x)恒成立等价于af(x)max；af(
9、x)恒成立等价于af(x)min适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求(如“演练冲关”第2题)主参换位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解常见的是转化为一次函数f(x)axb(a0)在m，n恒成立问题，若f(x)0恒成立若f(x)0恒成立若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时(如“题点全练”第3题)演练冲关1(2018台州模拟)不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_解析：因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒
10、成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案：8,42设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是(，0).一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019浙江名校联考)已知集合Ay|y1，Bx|x2x60，则ARB()A1,2B1,3C1,2) D1,3)解析
11、：选B由题意知A1，)，B(，2)(3，)，故RB2,3，ARB1,32(2018台州模拟)不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1,4 B(，25，)C(，14，) D2,5解析：选Ax22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.3(2018镇海中学月考)不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，则不等式ax2bxc0的解集为_解析：令f(x)ax2bxc，其图象如下图所示，再画出f(x)的图象即可，所以不等式ax2bxc0的解集为x|3x2答案：x|3x24(2018金华十校联考)若不等式2x1m(x
12、21)对满足|m|2的所有m都成立，则x的取值范围为_解析：原不等式化为(x21)m(2x1)0.令f(m)(x21)m(2x1)(2m2)则解得x，故x的取值范围为.答案：5(2018湖州五校联考)已知实数x，y满足x22y2x(2y1)，则x_，y_，2xlog2y_.解析：法一：由已知得2x24y24xy2x10，即(x1)2(x2y)20，所以解得x1，y，2xlog2y2log2211.法二：由已知得，关于x的不等式x2(2y1)x2y20(*)有解，所以(2y1)240，即(2y1)20，所以2y10，即y，此时不等式(*)可化为x22x10，即(x1)20，所以x1,2xlog2
13、y2log2211.答案：11二保高考，全练题型做到高考达标1已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，则ab等于()A3B1C1 D3解析：选A由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则ab3.2若a0，则关于x的不等式x24ax5a20的解集是()A(，a)(5a，)B(，5a)(a，)C(5a，a)D(a，5a)解析：选B由x24ax5a20，得(x5a)(xa)0，a0，x5a或xa.3(2018丽水五校联考)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集
14、为()A(，31，) B3，1C3，1(0，) D3，)解析：选C因为f(4)f(0)，所以当x0时，f(x)的对称轴为x2，又f(2)0，则f(x)不等式f(x)1的解为3，1(0，)，故选C.4(2018宁波四校联考)设二次函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)0，则f(m1)的值为()A正数B负数C非负数D正数、负数和零都有可能解析：选A设f(x)x2xa0的两个根为，由f(m)0，则m，由于二次函数f(x)x2xa的对称轴为x，且f(0)a0，则|1，f(m1)0，故选A.5若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：
15、选B原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1；当a1时，不等式的解为x1，此时符合要求；当a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.6不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40的解集不是空集，a2440，即a216.a4或a4.答案：(，4)(4，)7若关于x的不等式axb的解集为，则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_解析：由已知axb的解集为，可知a0，且，将不等式ax2bxa0两边同除以a，得x2x0，即x2x0，即5x2x40，解得1x，故所求解集为.答案：8(201
16、8萧山月考)不等式x2axb0(a，bR)的解集为，若关于x的不等式x2axbc的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：因为不等式x2axb0(a，bR)的解集为，所以x2axb20，那么不等式x2axbc，即2c，所以c0，所以x，又mxm6，m6m，即26，所以c9.答案：99已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化为a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32a32(2)f(x)b的解集为(1,3)等价
17、于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，等价于解得10关于x的不等式的整数解的集合为2，求实数k的取值范围解：由x2x20可得x1或x2.的整数解为x2，又方程2x2(2k5)x5k0的两根为k和.若k，则不等式组的整数解集合就不可能为2；若k，则应有2k3.3k2.综上，所求k的取值范围为3,2)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A(，2) B(2，)C(6，) D(，6)解析：选A不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a
18、2.2设f(x)ax2bxc，若f(1)，问是否存在a，b，cR，使得不等式x2f(x)2x22x对一切实数x都成立，证明你的结论解：由f(1)，得abc.令x22x22x，解得x1.由f(x)2x22x推得f(1)，由f(x)x2推得f(1)，f(1).abc.故ac且b1.f(x)ax2xa.依题意ax2xax2对一切xR都成立，即(a1)x2x2a0对一切xR都成立a1且14(a1)(2a)0.即(2a3)20，(2a3)20，由a10得a.f(x) x2x1.证明如下：x2x12x22xx2x(x1)20.x2x12x22x对xR都成立x2x1x2x2x(x1)20，x2x2x1对xR都成立存在实数a，b1，c1，使得不等式x2f(x)2x22x对一切xR都成立
