1、考必考问题 4 导数的简单应用及定积分1(2011全国)曲线 ye2x1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D1答案：A y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率 k2，切线方程为 y2x2，该直线与直线 y0 和 yx 围成的三角形如图所示，其中直线 y2x2 与 yx 的交点 A23，23，所以三角形面积 S1212313，故选 A.2(2012广东)曲线 yx3x3 在点(1,3)处的切线方程为_解析 曲线方程为 yx3x3，则 y3x21，又易知点(1,3)在曲线上，有 y|x12，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为 2，
2、所以切线方程为 y32(x1)，即 2xy10.答案 2xy103(2012陕西)设函数 f(x)ln x，x0，2x1，x0，D 是由 x 轴和曲线 yf(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则 zx2y 在 D 上的最大值为_解析 当 x0 时，求导得 f(x)1x，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率 k1，切线方程为 yx1，画图可知区域 D 为三角形，三个顶点的坐标分别为12，0，(0，1)，(1,0)，平移直线 x2y0，可知在点(0，1)处 z 取得最大值 2.答案 24(2012江西)计算定积分11(x2sin x)dx_.解析 11(x2sin x)dxx33
3、cos x 1123.答案 231利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义2考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式3用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.必备知识导数的几何意义(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)就是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)
4、处的切线的斜率，即 kf(x0)(2)曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)(3)导数的物理意义：s(t)v(t)，v(t)a(t)基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0 且 a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0 且 a1)f(x)1x ln af(x)ln xf(x)1x(2)导数的四则运算法则u(x)v(x)u(x)v(x)；u
5、(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；uxvx uxvxuxvxvx2(v(x)0)(3)复合函数求导复合函数 yf(g(x)的导数和 yf(u)，ug(x)的导数之间的关系为 yxf(u)g(x)利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 yf(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0 或 f(x)0；若已知 yf(x)的单调性，则转化为不等式 f(x)0 或 f(x)0在单调区间上恒成立问题求解求可导函数极值的步骤(1)求 f(x)；(2)求 f(x)0 的根；(3)判定根两侧导数的符号；(4)
6、下结论求函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求 f(x)；(2)求 f(x)0 的根(注意取舍)；(3)求出各极值及区间端点处的函数值；(4)比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)必备方法1利用导数解决优化问题的步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论2定积分在几何中的应用被积函数为 yf(x)，由曲线 yf(x)与直线 xa，xb(ab)和 y0 所围成的曲边梯形的面积为 S.(1)当 f(x)0 时，Sab f(x)dx；(2)当 f(x)0 时，Sab f(x)dx；(3)
7、当 xa，c时，f(x)0；当 xc，b时，f(x)0，则 Sac f(x)dxcbf(x)dx.导数的几何意义及其应用常考查：根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数可能出现在导数解答题的第一问，较基础 【例 1】(2011新课标全国)已知函数 f(x)aln xx1bx，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 x2y30，求 a、b 的值审题视点 听课记录审题视点 求 f(x)，由f11，f112可求解 f(x)ax1x ln xx12bx2，由于直线 x2y30 的斜率为12，且过点(1,1)，故f11，f112即b1，a2b12.解得 a
8、1，b1.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系方程(组)其三，求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异过点 P的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上；在点 P 处的切线，点 P 是切点【突破训练 1】直线 y2xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b_.解析 切线的斜率是 2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出 b 的值y1x，令1x2 得，x12，故切点为12，ln 12，代入直
9、线方程，得 ln 12212b，所以 bln 21.答案 ln 21利用导数研究函数的单调性常考查：利用导数研究含参函数的单调性问题；由函数的单调性求参数的范围尤其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点，主要考查学生的分类讨论思想，试题有一定难度 【例 2】(2012合肥一模)已知函数 f(x)xax(aR)，g(x)ln x求函数 F(x)f(x)g(x)的单调区间审题视点 听课记录审题视点 确定定义域求导对 a 进行分类讨论确定 f(x)的单调性下结论解 函数 F(x)f(x)g(x)xaxln x 的定义域为(0，)所以 f(x)1ax21xx2xax2.当 14a0，即 a14时，得
10、 x2xa0，则 f(x)0.所以函数 F(x)在(0，)上单调递增当 14a0，即 a14时，令 f(x)0，得 x2xa0，解得 x11 14a20，x21 14a2.(1)若14a0，则 x21 14a20.因为 x(0，)，所以 f(x)0，所以函数 F(x)在(0，)上单调递增(2)若 a0，则 x0，1 14a2时，f(x)0；x1 14a2，时，f(x)0.所以函数 F(x)在区间0，1 14a2上单调递减，在区间1 14a2，上单调递增综上所述，当 a0 时，函数 F(x)的单调递增区间为(0，)；当 a0 时，函数 F(x)的单调递减区间为0，1 14a2，单调递增区间为1
11、14a2，.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制【突破训练 2】(2012安徽)设函数 f(x)aex 1aexb(a0)(1)求 f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y32x，求 a，b 的值解(1)f(x)aex 1aex，当 f(x)0，即 xln a
12、时，f(x)在(ln a，)上递增；当 f(x)0，即 xln a 时，f(x)在(，ln a)上递减当 0a1 时，ln a0，f(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，从而f(x)在0，)内的最小值为 f(ln a)2b；当 a1 时，ln a0，f(x)在0，)上递增，从而 f(x)在0，)内的最小值为 f(0)a1ab.(2)依题意 f(2)ae2 1ae232，解得 ae22 或 ae212(舍去)所以 a2e2，代入原函数可得 212b3，即 b12.故 a2e2，b12.利用导数研究函数的极值或最值此类问题的命题背景很宽泛，涉及到的知识点多，综合性强，常考查：直接
13、求极值或最值；利用极(最)值求参数的值或范围常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题 【例 3】已知函数 f(x)x3mx2nx2 的图象过点(1，6)，且函数 g(x)f(x)6x 的图象关于 y 轴对称(1)求 m，n 的值及函数 yf(x)的单调区间；(2)若 a0，求函数 yf(x)在区间(a1，a1)内的极值审题视点 听课记录审题视点(1)根据 f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于 m、n 的方程，求出 m、n 的值(2)分类讨论解(1)由函数 f(x)的图象过点(1，6)，得 mn3.由 f(x)x3mx2nx2，得 f(x)3x22mxn，则
14、g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而 g(x)的图象关于 y 轴对称，所以2m623 0，所以 m3.代入得 n0.于是 f(x)3x26x3x(x2)由 f(x)0 得 x2 或 x0，故 f(x)的单调递增区间是(，0)和(2，)；由 f(x)0，得 0 x2，故 f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得 f(x)3x(x2)，令 f(x)0 得 x0 或 x2.当 x 变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当 0a1 时，f(x)在(a1，a1)内有极大值 f(0)2，无极小值；当 a1 时
15、，f(x)在(a1，a1)内无极值；当 1a3 时，f(x)在(a1，a1)内有极小值 f(2)6，无极大值；当 a3 时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得，当 0a1 时，f(x)有极大值2，无极小值；当 1a3 时，f(x)有极小值6，无极大值；当 a1 或 a3 时，f(x)无极值(1)求单调递增区间，转化为求不等式 f(x)0(不恒为 0)的解集即可，已知f(x)在 M 上递增f(x)0 在 M 上恒成立，注意区别(2)研究函数的单调性后可画出示意图讨论区间与 0,2 的位置关系，画图截取观察即可【突破训练 3】(2012北京)已知函数 f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx
16、.(1)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值；(2)当 a24b 时，求函数 f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以 f(1)g(1)，且 f(1)g(1)即 a11b，且 2a3b.解得 a3，b3.(2)记 h(x)f(x)g(x)当 b14a2 时，h(x)x3ax214a2x1，h(x)3x22ax14a2.令 h(x)0，得 x1a2，x2a6.a0 时，h(x)与 h(x)的变化情况如下：x
17、，a2a2a2，a6a6a6，h(x)00h(x)所 以 函数 h(x)的 单调 递增 区 间为，a2 和a6，；单调 递减区 间 为a2，a6.当a21，即 0a2 时，函数 h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为 h(1)a14a2.当a21，且a61，即 2a6 时，函数 h(x)在区间，a2 内单调递增，在区间a2，1 上单调递减，h(x)在区间(，1上的最大值为 ha2 1.当a61，即 a6 时，函数 h(x)在区间，a2 内单调递增，在区间a2，a6 内单调递减，在区间a6，1 上单调递增，又因 ha2 h(1)1a14a214(a2)20，所以 h(x
18、)在区间(，1上的最大值为 ha2 1.定积分问题定积分及其应用是新课标中的新增内容，常考查：依据定积分的基本运算求解简单的定积分；根据定积分的几何意义和性质求曲边梯形面积关键在于准确找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求解各地考纲对定积分的要求不高学习时以掌握基础题型为主 【例 4】(2011新课标全国)由曲线 y x，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.103B4C.163D6审题视点 听课记录审题视点 借助封闭图形确定积分上、下限及被积函数C 由 y x及 yx2 可得 x4，所以由 y x、yx2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为04(xx2)dx23x3212x2
19、2x40163.求定积分的一些技巧：(1)对被积函数要先化简，把被积函数变为幂函数、指数函数、正弦、余弦函数与常数的和或差，再求定积分；(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分，再求和；(3)对含有绝对值符号的被积函数，先要去掉绝对值符号再求定积分【突破训练 4】若1a2x1x dx3ln 2，则 a 的值为()A6B4C3D2答案：D 1a2x1x dxx2ln xa1a2ln a13ln 2，a213，ln aln 2，a2.导数法求最值中的分类讨论由参数的变化引起的分类讨论对于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对
20、于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法【示例】(2012天津)已知函数 f(x)13x31a2 x2axa，xR，其中 a0.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围；(3)当 a1 时，设函数 f(x)在区间t，t3上的最大值为 M(t)，最小值为 m(t)，记 g(t)M(t)m(t)，求函数 g(t)在区间3，1上的最小值满分解答(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由 f(x)0，得 x11，x2a0.当 x 变化时 f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值
21、极小值故函数 f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(5 分)(2)由(1)知 f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数 f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当f20，f10，f00，解得 0a13.所以 a 的取值范围是0，13.(8 分)(3)a1 时，f(x)13x3x1.由(1)知 f(x)在3，1上单调递增，在1,1上单调递减，在1,2上单调递增当 t3，2时，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上单调递增，在1，t3上单调递减因此 f(x)在t，t3上的最大值 M(t)f(1)13，而最小值 m(t)为 f(
22、t)与 f(t3)中的较小者由 f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，当 t3，2时，f(t)f(t3)，故 m(t)f(t)，所以 g(t)f(1)f(t)而 f(t)在3，2上单调递增，因此 f(t)f(2)53.所以 g(t)在3，2上的最小值为 g(2)1353 43.(12 分)当 t2，1时，t31,2，且1,1t，t3下面比较 f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由 f(x)在2，1，1,2上单调递增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又由 f(1)f(2)53，f(1)f(2)13，从而 M(t)f(1)13，m(t)f(1)53.所以 g(t)
23、M(t)m(t)43.综上，函数 g(t)在区间3，1上的最小值为43.(14 分)老师叮咛：本题中的第3问比较麻烦，由于所给的区间不确定，函数在此区间上的单调性也不确定，需要根据参数的不同取值进行分类讨论，注意把握分类的标准，能够确定出函数的最大值和最小值，要求思路清晰，结合第1问中的函数的单调性确定函数 gt的最值.【试一试】(2011北京)已知函数 f(x)(xk)2exk.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若对于任意的 x(0，)，都有 f(x)1e，求 k 的取值范围解(1)f(x)1k(x2k2)exk.令 f(x)0，得 xk.当 k0 时，f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)；单调递减区间是(k，k)当 k0 时，因为 f(k1)ek1k 1e，所以不会有x(0，)，f(x)1e.当 k0 时，由(1)知 f(x)在(0，)上的最大值是 f(k)4k2e.4k2e 1e，4k21，12k0.故当x(0，)，f(x)1e时，k 的取值范围是12， 高考资源网%