1、高二数学试题参考答案及评分标准 第1页（共 4 页）厦门市 2020-2021 学年度第二学期高二年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、单选题：1C 2B3A 4D 5C 6D 7C 8A 二、多选题：9AD 10AC 11BC 12ABD 三、填空题：13 2 14 1 1552 161，1,e+四、解答题：17本题考查函数导数，极值，最值等知识；考查运算求解能力考查函数与方程、转化与化归等数学思想满分 10 分解：（1）()232fxxax=+，1 分因为()f x 在2x=处有极大值 2，所以()()21240,2842,fafab=+=+=3 分解得3a=，2b=，4 分经检验，3
2、a=，2b=符合题意，所以()3232f xxx=+5 分（2）由()2360fxxx=，得0 x=或2x=，6 分当 x 在2,3上变化时，()fx，()f x 的变化情况如下表：x2()2,00()0,22()2,33()fx+00+()f x18递增极大值 2递减极小值 2递增2 8 分由表可得，当0 x=或3x=时，()f x 取得最大值 2；9 分当2x=时，()f x 取得最小值 18 10 分18本题考查独立性检验、古典概型等知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力等；考查统计等数学思想满分 12 分解：（1）依题意，完善表格如下：愿意不愿意男性15520女性3710合计181230
3、 2 分假设 H0：该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别无关，3 分则2230(15 73 5)=5.6256.63518 12 20 10K =，5 分所以没有 99%的把握认为该公司职工购买新能源汽车的意愿与性别有关 6 分（2）记“至少抽到 2 名女职工”为事件 A，“恰好抽到 2 名女职工”为事件 B，“恰好抽到 3 名女职工”为事件C，7 分则 ABC=，且 B 与C 互斥，8 分又125731210521()22044C CP BC=，37312357()=22044CP CC=，10 分高二数学试题参考答案及评分标准 第2页（共 4 页）则2177()()()444411P AP
4、 BP C=+=+=，11 分所以至少抽到 2 名女职工的概率为 711 12 分19本题考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角的大小等知识；考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；考查数形结合、转化与化归等数学思想满分 12 分证明：（1）设 BC 的中点为O，连 PO，OD，因为PBC是正三角形，所以 POBC，1 分又因为 D 是 AB 的中点，所以OD AC，因为 ACBC，所以ODBC，2 分又因为ODPOO=，所以 BC 平面 POD，3 分因为 PD 平面 POD，所以 BCPD 4 分（2）连接OA，因为2ACBC=，在 RtOAC中，225OAACOC=+=，在
5、正PBC中，223POPCOC=，因为2 2PA=，所以222PAAOPO=+，所以 POOA，又因为 POBC，且 AOBCO=，,AO BC 平面 ABC，所以 PO 平面 ABC，6 分所以OD，OB，OP 两两相互垂直如图，以O 为原点，OD，OB，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,1,0)A，(1,0,0)D，(0,0,3)P，(0,1,0)C，所以(1,1,0)AD=，(1,0,3)PD=，(2,0,0)AC=，(0,1,3)PC=，7 分设平面 PAD 的法向量为111(,)mx y z=，则111100300 xym ADxzm PD+=，取1
6、1z=，则113xy=，所以平面 PAD 的一个法向量为(3,3,1)m=9 分设平面 PAC 的法向量为222(,)nxyz=，则222200300 xn ACyzn PC=取21z=，则20 x=，23y=，所以平面 PAC 的一个法向量为(0,3,1)n=11 分则27cos,77 2m nm nm n=，所以二面角 DPAC的余弦值为77 12 分20本题考查回归分析及其应用等知识；考查数据处理能力、运算求解能力；考查数学建模和应用意识等满分 12 分解：（1）根据散点图，选择模型ecx dy+=更适宜作为该地区未成年男性体重的平均值 y 与身高 x 的回归方程类型 2 分（2）对ec
7、x dy+=两边取对数得ln ycxd=+，则cxd=+，3 分所以()()()12121212860.0214300iiiiixxxcx=，5 分所以 2.9580.02 1150.658dcx=，7 分所以0.020.658exy+=.8 分ODPBCAxyz高二数学试题参考答案及评分标准 第3页（共 4 页）（3）由ln20.693，得0.693e2.9 分令175x=，则()60.02 175 0.6584.1586 0.6930.6936ee=e=e264y+=，11分又64 1.2=76.878，所以该男生偏胖.12 分21本题考查随机事件的概率、二项分布、超几何分布及数学期望等知
8、识；考查运算求解能力和应用意识；考查统计等数学思想满分 12 分解：（1）因为有放回摸球，每次摸到黄球的概率为 35，且各次试验之间的结果是独立的，所以3(4,)5XB.1 分X 的所有可能值为0,1,2,3,4，044216(0)()5625P XC=，3143296(1)()55625P XC=，224232216(2)()()55625P XC=，43332216(3)()55625P XC=，444381(4)()5625P XC=，4 分所以 X 的分布列为X01234P166259662521662521662581625 5 分312()455E X=6 分（2）（i）样本中黄球
9、的比例为4XY=，由题意|0.6|0.24X，解得1.63.2X，即 X 取 2，3，8 分有放回摸球时，所求概率1216216432(2)(3)625625625PP XP X=+=+=；9 分不放回摸球时，所求概率223164642441010381772121C CC CPCC=+=+=10 分（ii）由（i）可知，12PP，所以在误差不超过 0.2 的限制下，用样本中黄球比例估计总体黄球比例，采用不放回摸球估计的结果更可靠些（其它结论合理也酌情给分）12 分22本题考查函数的单调性、不等式证明等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查分类讨论思想、函数与方程、转化与化归、数形结合等数
10、学思想满分 12 分解法一：（1）函数()f x 的定义域为(1,)+，1 分1()1fxax=+，2 分当0a 时，()0fx，所以()f x 在(1,)+上单调递增；3 分当0a 时，由()0fx得111xa ；由()0fx得11xa ，所以()f x 在1(1,1)a 上单调递增，在1(1,)a+上单调递减，综上，当0a 时，()f x 在(1,)+上单调递增；高二数学试题参考答案及评分标准 第4页（共 4 页）当0a 时，()f x 在1(1,1)a 上单调递增，在1(1,)a+上单调递减 5 分（2）由题意得，eln(1)0 x axxa+恒成立，设()eln(1)x ah xxxa
11、=+，则()0h x 恒成立，所以(0)0h，得0a.6 分1()(1)e1x ah xxx=+，因为21()(2)e0(1)x ah xxx=+恒成立，所以()h x在(1,)+单调递增.1211()e2022ah =，1()101h aaa=+，所以0(1,)x +，使得0()0h x=，即0001(+1)e01xaxx=+，即002ln(1)xax=+，8 分当0(1,)xx 时，()0h x，()h x 在0(1,)x单调递减；当0(,)xx+时，()0h x，()h x 在0(,)x+单调递增，所以0min000()()eln(1)xah xh xxxa=+，9 分又因为002ln(
12、1)axx=+，所以00020ln(1)0(1)xxxx+，10 分设2()ln(1)(1)xxxxx=+，322334432()10(1)(1)xxxxxxxx+=+,所以()x在(1,)+单调递增，又(0)0=，所以当0()0 x时，00 x，11 分又因为2ln(1)yxx=+在)0+，单调递增，所以0a.12 分解法二：（1）同解法一；5 分（2）设()eln(1)x ah xxxa=+，则()0h x 恒成立，所以(0)0h，得0a.6 分下证0a 时，()0h x 恒成立.设()ln(1)xxx=+，则1()111xxxx=+，当(1,0)x 时，()0 x，()x单调递增；当(0,)x+时，()0 x，()x单调递减，所以max()(0)0 x=，所以ln(1)xx+.8 分下证 ex axax+.因为0a，所以 xxa，又因为e0 x a，所以 e()ex ax axxa，所以 e()ex ax axaxaa+，10 分只需证()e0 x axaax+，即证()(e1)0 x axa.当 xa时，e1x a ，所以()(e1)0 x axa；当 xa时，e1x a ，所以()(e1)0 x axa，所以命题得证，所以 a 的取值范围为0,)+.12 分
