1、绝密启用前博野县实验中学 2020-2021 学年度 4 月考卷高一数学试卷一：单项选择1复数(2i)2等于()A34iB54iC32iD52i2.如图，在ABC 中，D 为边 BC 的中点，则下列结论正确的是（）A ABACAD B ABACBC C ABDCAD D ABDCBC 3设i，j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若42OA ij，34OB ij，则 2OAOB 的坐标是（）A1,2B7,6C5,0D11,84已知向量 a，b 满足1a，ab，则向量2ab 在向量a 方向上的投影为（）A1B77C 1D 2 775设向量a 与b
2、的夹角为，(2,1)a，3(5,4)ab，则sin 等于（）A1010B 13C 3 1010D 456下列命题中，不正确的是（）A若 a、b、c 是三角形三边，且2220abc，则 C 是锐角B在ABC中，若222abc，则 ABCC在ABC中，若4sincos0AA，则ABC一定是直角三角形D任何三角形的三边之比不可能是 1：2：37向量,12PAk，4,5PB，10,PCk，若 A，B，C 三点共线，则 k 的值为（）A 2B11C 2 或11D2 或118若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A1B0C1D2二：多项选择9下面是关于复数 z21i的四个命题，其中的真命题
3、为()A|z|2Bz22iCz 的共轭复数为 1iDz 的虚部为110在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，则下列说法错误的是()A AN14AB34ADB AN14AB34ADC AO12AB12ADD AE53AB AD11有下列说法其中正确的说法为（）A若 ab，bc，则 acB若 23OAOBOC 0 ，AOCS，ABCS分别表示AOC，ABC的面积，则:1:6AOCABCSSC两个非零向量a，b，若abab，则a 与b 共线且反向D若 ab，则存在唯一实数 使得ab12对于ABC，有如下命题，其中正
4、确的有()A若 sin2Asin2B，则ABC 为等腰三角形B若 sin Acos B，则ABC 为直角三角形C若 sin2Asin2Bcos2C1，则ABC 为钝角三角形D若 AB 3，AC1，B30，则ABC 的面积为 34或 32三：填空13(2019江苏高考)已知复数(a2i)(1i)的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数a 的值是_14已知|a|2，|b|3，ab3 3，则 a 与 b 的夹角为_15已知向量1e，2e 不共线，实数 x，y 满足1212342363xyxyeeee，则xy _16一条河宽为 800m，一船从 A 处出发垂直到达河正对岸的 B 处，船速为 20km
5、/h，水速为 12km/h，则船到达 B 处所需时间为_min四：大题17.已知向量 与 夹角为60,|=3,=3+(1)若,求实数的值.(2)是否存在实数,使得/,说明理由.18.已知向量=2,12 与向量=12,2 共线，其中,为ABC 的内角(1)求角的大小；(2)若=35，求的值19(12 分)ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin Bbcos2A 2a.(1)求ba；(2)若 c2b2 3a2，求 B.20已知 z为 z 的共轭复数，若 z z3i z13i，求 z.21如图，在四边形 ABCD 中，已知ADC75，AD5，AB7，BDA60，
6、BCD135.(1)求 BD 的长；(2)求 CD 的长22如图所示，为了测量河对岸,两点间的距离，在岸边定一基线,现已测出=和=60,=30,=105,=60,试求的长.一：单项选择1复数(2i)2等于()A34iB54iC32iD52i解析：选 A(2i)244ii244i134i.故选 A.2.如图，在ABC 中，D 为边 BC 的中点，则下列结论正确的是（）A ABACAD B ABACBC C ABDCAD D ABDCBC 【答案】C【解析】由已知及图形得到2ABACAD，故 A 错误；ABACCB ，故 B 错误；ABDCABBDAD ，故 C 正确；ABDCABBDBC ，故
7、D 错误，故选 C3设i，j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若42OA ij，34OB ij，则 2OAOB 的坐标是（）A1,2B7,6C5,0D11,8【答案】D【解析】因为4,2OA，3,4OB，所以211,8OAOB，故选 D4已知向量 a，b 满足1a，ab，则向量2ab 在向量a 方向上的投影为（）A1B77C 1D 2 77【答案】A【解析】如图，作OA a，OB b，OAOB，延长 OB 至点 C，使OBBC，以 OA，OC 为邻边作矩形 OCDA，则2OC b，2CA ab，ACD即为2ab 与a 的夹角，|cos|2|2|
8、1ACDaabab，则向量2ab 在a 的方向上的投影为2 cos1ACDab，故选 A5设向量a 与b 的夹角为，(2,1)a，3(5,4)ab，则sin 等于（）A1010B 13C 3 1010D 45【答案】A【解析】设(,)x yb，则3(2 3,1)35,4(xyab，2351 34xy，解得11xy，即(1,1)b，2 1 1 13cos=0521 a ba b，所以210sin1 cos10，故选 A6下列命题中，不正确的是（）A若 a、b、c 是三角形三边，且2220abc，则 C 是锐角B在ABC中，若222abc，则 ABCC在ABC中，若4sincos0AA，则ABC一
9、定是直角三角形D任何三角形的三边之比不可能是 1：2：3【答案】B【解析】对于 A：由余弦定理可得222cos02abcCab，又(0,)C，所以(0,)2C，所以角 C 是锐角，故 A 正确；对于 B：由余弦定理可得222cos02bcaAbc，又(0,)A，所以(0,)2A，所以角 A 是锐角，所以2BCA，故 B 错误；对于 C：因为 4sincos0AA，(0,)A，所以sin0A，所以cos0A，则2A，所以ABC一定是直角三角形，故 C 正确；对于 D：若三角形三边之比是 1：2：3，不妨设三边为 a，2a，3a，则两短边之和为 3a，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的
10、三边之比不可能是 1：2：3，故 D 正确，故选 B7向量,12PAk，4,5PB，10,PCk，若 A，B，C 三点共线，则 k 的值为（）A 2B11C 2 或11D2 或11【答案】C【解析】由题得4,7ABPBPAk ，6,5BCPCPBk ，由题知 ABBC，故 45760kk，解得11k 或2k ，故选 C8若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A1B0C1D2解析：选 B因为 a 为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得 4a0 且 a244，解得 a0，故选 B.二：多项选择9下面是关于复数 z21i的四个命题，其中的真命题为()A|z|2Bz22
11、iCz 的共轭复数为 1iDz 的虚部为1解析：选 BDz21i21i1i1i1i，|z|2，z22i，z的共轭复数为1i，z 的虚部为1，故选 B、D.10在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，则下列说法错误的是()A AN14AB34ADB AN14AB34ADC AO12AB12ADD AE53AB AD解析：选 BD易证DENBAN，又 OBOD，N 是线段 OD 的中点，DE13AB，AE AD DE AD13AB，D 说法错误；AO12AC12AB12AD，C 说法正确；AN AO ON12(AB
12、 AD)14(AD AB)34AD14AB，A 说法正确，B 说法错误故选 B、D.11有下列说法其中正确的说法为（）A若 ab，bc，则 acB若 23OAOBOC 0 ，AOCS，ABCS分别表示AOC，ABC的面积，则:1:6AOCABCSSC两个非零向量a，b，若abab，则a 与b 共线且反向D若 ab，则存在唯一实数 使得ab【答案】BC【解析】A 选项错误，例如 0b，推不出 ac；B 选项，设 AC 的中点为 M，BC 的中点为 D，因为 23OAOBOC 0 ，所以 2 22OMOD 0，即 2OMOD，所以 O 是 MD 的三等分点，可知 O 到 AC 的距离等于 D 到
13、AC 距离的 13，而 B 到 AC 的距离等于 D 到 AC 距离的 2 倍，故可知 O 到 AC 的距离等于 B 到 AC 距离的 16，根据三角形面积公式可知正确；C 选项，两边平方可得 22|a ba b，所以 cos,1 a b，即夹角为 ，结论正确；D 选项错误，例如 0b，故选 BC12对于ABC，有如下命题，其中正确的有()A若 sin2Asin2B，则ABC 为等腰三角形B若 sin Acos B，则ABC 为直角三角形C若 sin2Asin2Bcos2C1，则ABC 为钝角三角形D若 AB 3，AC1，B30，则ABC 的面积为 34或 32解析：选 ACD对于 A：sin
14、2Asin2B，ABABC 是等腰三角形，A 正确；对于 B：由 sin Acos B，AB2或 AB2.ABC 不一定是直角三角形，B错误；对于 C：sin2Asin2B1cos2Csin2C，a2b2AC，C60或 C120，A90或 A30，SABC 32或 34，D 正确故选 A、C、D.三：填空13(2019江苏高考)已知复数(a2i)(1i)的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数a 的值是_解析：(a2i)(1i)a2(a2)i，因为实部为 0，所以 a20，即 a2.答案：214已知|a|2，|b|3，ab3 3，则 a 与 b 的夹角为_解析：设 a 与 b 的夹角为，则
15、cos ab|a|b|3 323 32，所以6.答案：615已知向量1e，2e 不共线，实数 x，y 满足1212342363xyxyeeee，则xy _【答案】3【解析】1e，2e 不共线，且1212342363xyxyeeee，346233xyxy，解得63xy，3xy，故答案为 316一条河宽为 800m，一船从 A 处出发垂直到达河正对岸的 B 处，船速为 20km/h，水速为 12km/h，则船到达 B 处所需时间为_min【答案】3【解析】12vvvvv船水实际，120km/hv，212km/hv，221222|201216 km/hvvv实际所需时间 0.80.05 h3 min
16、16t，该船到达 B 处所需的时间为 3min，故答案为 3四：大题17.已知向量 与 夹角为60,|=3,=3+(1)若,求实数的值.(2)是否存在实数,使得/,说明理由.【答案】(1)92(2)92【解析】(1)=0(2 3)(3+)=0=92;(2)2=33=92.18.已知向量=2,12 与向量=12,2 共线，其中,为ABC 的内角(1)求角的大小；(2)若=35，求的值【答案】（1）=23；（2）3+4 310【解析】（1）=2,12 与=12,2 共线，2 2=14 2=12 又 0 ，0 2 0，故 cos B 22，所以 B45.20已知 z为 z 的共轭复数，若 z z3i
17、 z13i，求 z.解：设 zabi(a，bR)，则 zabi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即 a2b23b3ai13i，则有a2b23b1，3a3，解得a1，b0或a1，b3.所以 z1 或 z13i.21如图，在四边形 ABCD 中，已知ADC75，AD5，AB7，BDA60，BCD135.(1)求 BD 的长；(2)求 CD 的长解：(1)在ABD 中，AD5，AB7，BDA60，所以由余弦定理AB2AD2BD22ADBDcosBDA，可得4925BD225BDcos60，则 BD25BD240，解得 BD8(BD3 舍去)(2)在BCD 中，BDCADCBDA756015.又BCD135，则CBD1801351530.由(1)得 BD8，由正弦定理CDsinCBDBDsinBCD，得CDsin 308sin 135，解得 CD4 2.22如图所示，为了测量河对岸,两点间的距离，在岸边定一基线,现已测出=和=60,=30,=105,=60,试求的长.【答案】22【解析】在ACD 中，已知=,=60,=60,=.=30,=105,=45.在BCD 中，由正弦定理，得=10545=3+12.在ABC 中，已经求得和，又=30,=2+2 2 30=22.
