1、第一课时函数的单调性与导数判断或证明函数的单调性明技法提能力【典例】 (2018昆明质检)设函数f(x)xln(ax)(a0)设F(x)f(1)x2f(x)，讨论函数F(x)的单调性解：f(x)ln(ax)1，所以F(x)(ln a)x2ln(ax)1，函数F(x)的定义域为(0，)，F(x)(ln a)x.当ln a0，即a1时，恒有F(x)0，函数F(x)在(0，)上是增函数；当ln a0，即0a1时，令F(x)0，得(ln a)x210，解得0x ；令F(x)0，得(ln a)x210，解得x .所以函数F(x)在上为增函数，在上为减函数刷好题(2016全国卷改编)讨论函数f(x)ex的
2、单调性，并证明当x0时，(x2)exx20.解：f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.函数单调性的综合问题析考情由函数的单调性求参数取值范围是高考的热点，解决此类问题的关键在于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件，既有大题又有小题，难度相对较大提能力【典例】 (2018芜湖质检)设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x
3、)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围解：(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)当a0时，f(x)x20恒成立，即函数f(x)在(，)内为单调增函数当a0时，由f(x)0得，xa或x0；由f(x)0得0xa.即函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)当a0得，x0或xa；由f(x)0得ax0.即函数f(x)的单调递增区间为(，a)，(0，)，单调递减区间为(a,0)(3)g(x)f(x)2x2ax2，且g(x)在(2，1)内为减函数，g(x)0，即x2ax20在(2，1)内恒成立，
4、即解得a3，即实数a的取值范围为(，3母题变式1 在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(2，1)，如何求解？解：g(x)的单调减区间为(2，1)，x12，x21是g(x)0的两个根，(2)(1)a，即a3.母题变式2 在本例(3)中，若g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，如何求解？解：g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，amax2，当且仅当x即x时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(，2)母题变式3 在本例(3)中，若g(x)在区间(2，1)内不单调，如何求解？解：g(x)在(2，1)内不单调，g(x)x2ax2，g(
5、2)g(1)0或由g(2)g(1)0，得(62a)(3a)0，无解由得即解得3a0时，f(x)的单调递减区间是(3m，m)，若f(x)在区间(2,3)上是减函数，则解得m3.当m0)的单调递增区间为()ABC D(，a)解析：选A由f(x)a0，得0x，f(x)的单调递增区间为.2(2018涪陵月考)已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)的图像大致是()解析：选A设g(x)f(x)2x2sin x，g(x)22cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增3(2018乐山模拟)f(x)x2aln x在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为()Aa1Ba1
6、Ca2 Da2解析：选D由f(x)x2aln x，得f(x)2x，f(x)在(1，)上单调递增，2x0在(1，)上恒成立，即a2x2在(1，)上恒成立，x(1，)时，2x22，a2.4(2018邯郸模拟)若函数f(x)的导函数f(x)x24x3，则使函数f(x1)单调递减的一个充分不必要条件是x()A(0,1) B0,2C(2,3) D(2,4)解析：选C由f(x)0x24x30，即1x3，函数f(x)在(1,3)上单调递减函数f(x1)在(2,4)上单调递减故D为充要条件，C为充分不必要条件5(2018钦州质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f
7、(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()Aabc BcbaCcab Dbca解析：选C依题意得，当x0，f(x)为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，所以caf(x)恒成立，若x10，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)0)的单调递减区间是(0,4)(1)实数k的值为_；(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是_.解析：(1)f(x)3kx26(k1)x，由题意知f(4)0，解得k.(2)由f(x)3kx26(k1)x0并结合导函数的图像可知，必有4，解得k.又k0，故0k.答案：(1)(2)01，则不等式f(x
8、)x0的解集为_.解析：令g(x)f(x)x，g(x)f(x)1.由题意知g(x)0，g(x)为增函数g(2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，)答案：(2，)10已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数
9、综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)11(2018焦作模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)axb. (1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解：(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)abf(1)0，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数，(x)0在1，)上恒成立，即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)x2，)，2m22，m2.故实数m的取值范围是(，2B组能力提升1已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定
10、a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解：(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f (x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0或x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x1时，g(x)0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0，故g(x)为减函数；当x0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数2(2018衢州模拟)已知函数f(x)xlnx，a0.(1)讨论函数f
11、(x)的单调性；(2)若f(x)xx2在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，由于f(x)1，令m(x)x2xa，当14a0，即a时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上是增函数；当14a0，即0a0，得0x.所以f(x)在，上是增函数，在上是减函数综上知，当0axx2，即x2ln x0，因为x(1，)，所以a0，得h(x)h(1)2，即g(x)0，故g(x)x3xln x在(1，)上为增函数，g(x)g(1)1，所以0a1.3(2018郑州质检)已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图
12、像在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9；由g(3)0，得m.所以m9.即实数m的取值范围是.
