1、课时作业提升(七十四)坐标系(对应学生用书P300)1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则4x29y236，即1.曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(，0)2求经过极点O(0,0)，A，B三点的圆的极坐标方程解：将点的极坐标化为直角坐标，点O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，将xcos ，y
2、sin 代入上述方程，得26(cos sin )0，即6cos.3已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由2知24，所以x2y24；因为22cos2，所以222，所以x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.4设M，N分别是曲线2sin 0和sin上的动点，求M，N的最小距离解：因为M，N分别是曲线2sin 0和sin上的动点，即M，N分别是圆x2y22y0和直线xy10上的动点，要求M，
3、N两点间的最小距离，即在直线xy10上找一点到圆x2y22y0的距离最小，即圆心(0，1)到直线xy10的距离减去半径，故最小值为11.5在直角坐标系数xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N.(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(R)
4、6已知直线l：sin4和圆C：2kcos(k0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2，求实数k的值并求圆心C的直角坐标解：圆C的极坐标方程可化为kcos ksin ，即2kcos ksin ，所以圆C的直角坐标方程为x2y2kxky0，即22k2，所以圆心C的直角坐标为.直线l的极坐标方程可化为sin cos 4，所以直线l的直角坐标方程为xy40，所以|k|2.即|k4|2|k|，两边平方，得|k|2k3，所以或解得k1，故圆心C的直角坐标为.7(2015全国卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2： (x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(
5、1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解：(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为 22cos 4sin 40.(2)将代入 22cos 4sin 40，得 2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，圆心C2到MN的距离d，所以C2MN的面积为.8在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：(R)所截得的弦长解：方法一(1)设所求圆上任意一点M(，)，如图，在RtOAM中，OMA，AOM2，|OA|4.因为cos AOM，所以|OM|OA|cos AOM，即4cos 4cos ，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程故4cos为所求(2)设l：(R)交圆C于点P，在RtOAP中，OPA，易得AOP，所以|OP|OA|cos AOP2.方法二(1)圆C是将圆4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是4cos.(2)将代入圆C的极坐标方程4cos，得2，所以圆C被直线l：(R)所截得的弦长为2.
