1、22.2椭圆的几何性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图知识链接观察椭圆1 (ab0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答：(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)预习导引1椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)
2、，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(，0)(0，)焦距F1F22对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e(0,1)2.离心率的作用当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆要点一椭圆的几何性质例1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解已知方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是F1(，0)和F2(，0)，四个顶点坐标分别是A1(4,0)，A2(4,0)，B1(0
3、，3)和B2(0,3)规律方法解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪演练1求椭圆m2x24m2y21 (m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆的方程m2x24m2y21 (m0)可转化为1.m2，椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距长c.椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为(，0)，(，0)，顶点坐标为(，0)，(，0)，(0，)，(0，)离心率e.要点二由椭圆的几何性质求方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上
4、，若其离心率为，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.解(1)由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，椭圆的标准方程是1.(2)由已知得从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.规律方法在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.跟踪演练2已知椭圆过点(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程解所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，点(3,0)为椭圆的一个顶点当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a3，e，ca3，b2a2c
5、232()2963，椭圆的标准方程为1.当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b3，e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，椭圆的标准方程为1.综上可知，椭圆的标准方程是1或1.要点三求椭圆的离心率例3如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，则MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中，F1FMFMF，即4c2b2MF.而MF1MF2b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，
6、所以3b2a.所以.所以e21，所以e.规律方法求椭圆离心率的方法：直接求出a和c，再求e，也可利用e求解若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解跟踪演练3如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率解设椭圆的方程为1 (ab0)如题图所示，则有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，P(c，)又PF2AB，PF1F2AOB.，b2c.b24c2，a2c
7、24c2，.e2，即e，椭圆的离心率为.1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_答案(0，)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)2若椭圆中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为，则椭圆的标准方程为_答案1解析c1，e，a3，b23218.焦点在x轴上，椭圆的标准方程为1.3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_答案解析由题意有2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)4设F1，F2是椭圆E：1(ab
8、0)的左，右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为_答案解析由题意可得PF2F1F2，2(ac)2c，3a4c，e.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用一、基础达标1已知点(3,2)在椭圆1上，则下列说法正确的是_(填序号)点(3，2)不在椭圆上；点(3，2)不在椭圆上；点(3,2)在
9、椭圆上；无法判断点(3，2)、(3，2)、(3,2)是否在椭圆上答案解析由椭圆的对称性知(3,2)必在椭圆上2椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是_答案10、6、0.8解析把椭圆的方程写成标准方程为1，知a5，b3，c4.2a10,2b6，0.8.3椭圆x24y21的离心率为_答案解析将椭圆方程x24y21化为标准方程x21，则a21，b2，即a1，c，故离心率e.4过椭圆1 (ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为_答案解析记F1F22c，则由题设条件，知PF1，PF2，则椭圆的离心率e.5椭圆x2my21的焦点在y轴
10、上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是_答案解析由题意可得222，解得m.6椭圆1和k(k0，a0，b0)具有相同的_答案离心率解析不妨设ab0，则椭圆k的离心率e2.而椭圆1的离心率e1.7已知椭圆方程为4x29y236，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解把椭圆的方程化为标准方程1.可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a3，短半轴长b2；又得半焦距c.因此，椭圆的长轴长2a6，短轴长2b4；两个焦点的坐标分别是(，0)，(，0)；四个顶点的坐标分别是(3，0)，(3,0)，(0，2)，(0,2)；离心率e.二、能力提升8若椭圆1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2y21的切线
11、，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_答案1解析x1是圆x2y21的一条切线椭圆的右焦点为(1,0)，即c1.设P(1，)，则kOP，OPAB，kAB2，则直线AB的方程为y2(x1)，它与y轴的交点为(0,2)b2，a2b2c25，故椭圆的方程为1.9若椭圆x2my21的离心率为，则m_.答案或4解析方程化为x21，则有m0且m1.当1时，依题意有，解得m.综上，m或4.10设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_答案1解析因为F1PF2为等腰直角三角形，所以PF2F1F22c，P
12、F12c，又由椭圆定义知PF1PF22a，所以2c2c2a，即(1)ca，于是e1.11分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是，长轴长是6.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)设椭圆的方程为1 (ab0)或1 (ab0)由已知得2a6，e，a3，c2.b2a2c2945.椭圆方程为1或1.(2)设椭圆方程为1 (ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且OFc，A1A22b，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.12已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，过
13、点E(，0)的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F1AF2B，F1A2F2B，求椭圆的离心率解由F1AF2B，F1A2F2B，得，从而，整理，得a23c2.故离心率e.三、探究与创新13已知椭圆E的中心是坐标原点O，两个焦点分别为A(1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MPMH，求实数t的取值范围解(1)由题意可得，c1，a2，b.所求椭圆E的标准方程为1.(2)设M(x0，y0)(x02)，则1.(tx0，y0)，(2x0，y0)，由MPMH可得0，即(tx0)(2x0)y0.由消去y0，整理得t(2x0)x2x03.x02，tx0.2x02，2t1.实数t的取值范围为(2，1)
