1、课时分层作业(二十一)空间的角的计算(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题1已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为_解析(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直线AB，CD所成角的余弦值为.答案2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_. 【导学号：71392207】解析依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.，cos，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.答案3已知点E，F分别在正方体ABC
2、DA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_解析如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z)所以A(1,0,0)，E，F，所以，则即取x1，则y1，z3，故n2(1，1,3)，所以cosn1，n2，所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .答案4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，
3、则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案5已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是_. 【导学号：71392208】解析以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)所以
4、(1,0,1)，.设平面AEFD1的法向量为n(x，y，z)，则取y1，则n(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u.答案6在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则sinC，_.解析建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知C(2，2,1)，(2,2，1)，cosC，sinC，.答案7. 如图3229，在四面体ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，则二面角ABCD的大小为_图3229解析二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小.，而22222|cos ，即1214922cos，cos，AB与CD所
5、成角为，即二面角ABCD的大小为.答案8在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为_解析()|cos |cos |(|)0.cos，0.答案0二、解答题9如图3230，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连接CE并延长交AD于F.图3230(1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值解(1)证明：在ABD中，因为E是BD中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB，因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD.
6、因为PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.设平面BCP的一个法向量n1(1，y1，z1)，则解得即n1.设平面DCP的一个法向量n2(1，y2，z2)，则解得即n2.从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos .10如图3231，在几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EAAB，M是EC的中点，EADAAB2CB.图3231(1)求证：DMEB；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；(3)求二面角MBDA的余弦值. 【导学
7、号：71392209】解以直线AE，AB，AD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设CBa，则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M，(1)证明：，(2a,2a,0)，a(2a)a2a00，即DMEB.(2)(0,2a,0)，(2a，2a，a)，设异面直线AB与CE所成的角为，则cos ，即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.(3)DA平面EAB，AD平面DAB，平面DAB平面EAB.EA平面EAB，平面EAB平面DABAB，EAAB.EA平面DAB.(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量设平面MBD的一个法向量为
8、n(x，y，z)，(0，2a,2a)，则即令za，则n，设二面角MBDA的平面角为，则cos .即二面角MBDA的余弦值为.能力提升练1如图3232，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当时，则异面直线AC与VD所成角的余弦值是_图3232解析由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)当时，在RtVCD中，CD，故V(0,0，)所以(2,0,0)，(1,1，)，所以cos，所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.答案2如图3233，在空间
9、直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_图3233解析不妨令CB1，则CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案3在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是_解析如图所示，建立空间直角坐标系，设OAOBOC1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)
10、，M，故(1，1,0)，(1,0,1)，.设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.答案4如图3234，PA平面ABC，ACBC，BC，PAAC1，求二面角APBC的余弦值. 【导学号：71392210】图3234解法一：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，取PB的中点D，连接DC，则DCPB，作AEPB于E.则向量与的夹角的大小为二面角APBC的大小A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，又D为PB的中点，D.在RtPAB中，E，.又|，|1，cos，即二面角APBC的余弦值为.法二：以C为坐标原点，直线CA，CB分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，(0,0，1)，(1，1)，(1,0，1)，设平面PAB的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则n10，n10，取y11，则x1，z10，n1(，1,0)，设平面PBC的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则n20，n20，取x21，则y20，z21，n2(1,0，1)，cosn1，n2，二面角APBC的余弦值为.
