1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）主干知识梳理一、均值1一般地，若离散型随机变量X的分布列为：X x1x2 xi xnP p1p2 pi pn第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则称E(X)为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的2若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb).3(1)若X服从两点分布，则E(X)；(2)若XB(n，p)，则E(X).x1p1x2p2xipixnpn平均水平aE(X)bpnp第十章 计数原
2、理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）二、方差1设离散型随机变量X的分布列为：X x1x2 xi xnP p1p2 pi pn第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(xiE(X)2平均偏离程度第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2D(aXb)3若X服从两点分布，则D(X)4若XB(n，p)，则D(X)a2D(X)p(1p)np(1p)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）上方xx1第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越，表示总体的分布越集中；越大，曲线越，表示总体的分布越“瘦高”“
3、矮胖”分散第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2正态分布的三个常用数据：(1)P(X)；(2)P(2X2)；(3)P(3X3).0.682 60.954 40.997 4第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）基础自测自评1(2013广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2已知随机变量服从正态分布N(0，2)若P(2)0.023，则P(22)()A0.477 B0.628C0.954 D0.977C0，P(2)P(2)0.023，P(22)120.023
4、0.954.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3(教材习题改编)设随机变量XB(n，p)且E(X)1.6，D(X)1.28则()An8p0.2 Bn4p0.4Cn5p0.32 Dn7p0.45AXB(n，p)，E(X)np1.6，D(X)np(1p)1.28，解得n8，p0.2.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）关键要点点拨1均值与方差：(1)均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作
5、为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态(2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏散程度，D(X)越小，X的取值越集中，D(X)越大，X的取值越分散第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2由正态分布计算实际问题中的概率百分比时，关键是把正态分布的两个重要参数、求出，然后确定三个区间(，(2，2，(3，3与已知概率值进行联系求解.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）离散型随机变量的均值与方差第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分
6、布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法1求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出其分布列，正确利用公式计算若随机变量服从二项分布，则可直接代入公式E(X)np，D(X)np(1p)计算2注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）
7、跟踪训练1(2013重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十
8、章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）均值与方差的实际应用第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）日需求量n14151617181920频数10201616151310第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)X可能的取值为60
9、,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列为：X 607080P 0.10.20.7第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776.X的方差为D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为D(Y)(55
10、76.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.Y 55657585P 0.10.20.160.54第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为：Y 55657585P 0.10.20.160.54第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）Y的数学期
11、望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练2(2014济南模拟)某企业计划投资A，B两个项目，根据市场分析，A，B两个项目的利
12、润率分别为随机变量X1和X2，X1和X2的分布列分别为X15%10%P 0.80.2第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)若在A，B两个项目上各投资1 000万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求利润的期望E(Y1)，E(Y2)和方差D(Y1)，D(Y2)；X22%8%12%P 0.20.50.3第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)由于资金限制，企业只能将x(0 x1 000)万元投资A项目，1 000 x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)
13、取到最小值第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为E(Y1)500.81000.260，D(Y1)(5060)20.8(10060)20.2400，E(Y2)200.2800.51200.380，D(Y2)(2080)20.2(8080)20.5(12080)20.31 200.Y150100P0.80.2Y22080120P0.20.50.3第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）正态分布第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)某客运公司用A、B两
14、种型号车辆承担甲、乙两地间的长途客运任务，每车每天往返一次，A、B两种车辆载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量
15、及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练3(2014安徽模拟)在某市2013年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市前多少名左右？()A1 500B1 700C4 500 D8 000第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2
16、)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望【思路导析】甲选择3号和乙未选择3号是相互独立事件，先分别计算其概率，然后利用P(AB)P(A)P(B)可解答(1)；(2)分析X可能的取值，利用事件的独立性得到分布列及数学期望第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【高手支招】期望和方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，求其的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能取值；第二步：求出每一个可能取值所对应的概率值；第三步：列出随机变量的分布列；第四步：由期望与方差公式求出随机变量的期望与方差第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）课时作业
