1、 学业水平训练1.已知PA矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有_对解析：DAAB，DAPA，ABPAA，DA平面PAB，同理BC平面PAB，AB平面PAD，DC平面PAD，平面AC平面PAD，平面AC平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PDC平面PAD，平面PAB平面PAD，共5对答案：52.如图，四面体P-ABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，则PC_.解析：取AB的中点E，连结PE，PAPB，PEAB.又平面PAB平面ABC，PE平面ABC，连结CE，所以PECE.ABC90，AC8，BC6，AB2，PE，CE，PC7.答案：73若P是A
2、BC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，那么二面角P-BC-A的大小为_解析：取BC的中点O，连结OA，OP(图略)，则POA为二面角P-BC-A的平面角，OPOA，PA，所以POA为直角三角形，POA90.答案：904.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是_解析：如图：因为OAOB，OAOC，OB，OC且OBOCO，根据线面垂直的判定定理，可得OA，又OA，根据面面垂直的判定定理，可得.答案：面面垂直的判定定理5.平面四边形ABCD，其中ABAD1，B
3、CCD，ABAD，沿BD将ABD折起，使得AC1，则二面角A-BD-C的平面角的正弦值为_解析：取BD中点E，连结AE，CE.ABAD，BCCD，AEBD，CEBD，AEC为二面角A-BD-C的平面角DAB中，ABAD1，ABAD，AE.BCD中，BCCD，BD，CE.又AC1，AEC中，AE2AC2CE2，EAC90.sinAEC.答案：6如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角，这时顶点A到BC的距离是_解析：在翻折后的图形中，BDC为二面角BADC的平面角，即BDC60，AD平面BDC.过D作DEBC于E，连结AE，则E为BC的中点，且AEBC，所以AE即为点A到BC的
4、距离易知，ADa，BCD是边长为的等边三角形，所以DEa，AEa.答案：a7如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB平面ABCD.证明：连结AC，交BD于点F，连结EF，EF是SAC的中位线，EFSC.SC平面ABCD，EF平面ABCD.又EF平面EDB，平面EDB平面ABCD.8.如图：三棱锥P-ABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，ACP30，平面PAC平面ABC.求证：平面PAB平面PBC.证明：平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PAAC，PA平面ABC.又BC平面ABC，PAB
5、C.又ABBC，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB.BC平面PAB.又BC平面PBC，平面PAB平面PBC.高考水平训练1如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是_解析：ADDE，平面ADE平面BCDE，且平面ADE平面BCDEDE，AD平面BCDE.又BC平面BCDE，ADBC.又BCCD，CDADD，BC平面ACD，又BC平面ABC，平面ABC平面ACD.答案：垂直2.如图，二面角-l-的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_解析：如图
6、，过点A作ACl，垂足为C，AD，垂足为D，连结CD、BD.由题意知ACD60，ABC30，ABD即为AB与平面所成的角设ACa，则AB2a，ADa，sinABD.答案：3如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起(1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：ABAC；(2)如果ABAC，求证：平面ADE平面BCDE.证明：(1)过点A作AMDE于点M，则AM平面BCDE，AMBC.又ADAE，M是DE的中点，取BC中点N，连结MN，AN，则MNBC.又AMBC，AMMNM，BC平面AMN，ANBC.又N是BC的中点，ABAC.(2)取BC的中点N，连结AN，ABA
7、C，ANBC.取DE的中点M，连结MN，AM，MNBC.又ANMNN，BC平面AMN，AMBC.又M是DE的中点，ADAE，AMDE.又DE与BC是平面BCDE内的相交直线，AM平面BCDE.AM平面ADE，平面ADE平面BCDE.4.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论解：(1)证明：如图所示，设G为AD的中点，连接PG，BG，PAD为正三角形，PGAD.在菱形ABCD中，BAD60，G为AD的中点，BGAD.又BGPGG，AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.设F为PC的中点，则在PBC中，FEPB.在菱形ABCD中，GBDE.FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，平面DEF平面PGB.由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD，平面DEF平面ABCD.
