1、第三节空间点、直线、平面的位置关系考点高考试题考查内容核心素养异面直线所成的角2017全国卷T105分求解异面直线所成的角直观想象数学运算2016全国卷T115分面面平行的判定与性质，异面直线所成的角2014全国卷T115分求解异面直线所成的角线面的位置关系2013全国卷T145分线面位置关系的判断直观想象逻辑推理命题分析异面直线所成的角是高考热点，会单独考查，常出现在选择题中；本节其他知识一般不单独命题，常在解答题中涉及.(对应学生用书P95)1四个公理公理1：如果一条直线上的_两点_在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过_不在一条直线上_的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重
2、合的平面有一个公共点，那么它们_有且只有一条_过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_平行_.2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_锐角(或直角)_叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有_直线在平面内_、_直线与平面相交_、_直线与平面平行_三种情况4平面与平面的位置关系有_平行_、_相交_两种情况5等角定理空间中如果两个角的_两边分别对应平行_，那么这两个角相等或互补提醒：辨明三个易误点(1)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为
3、异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交(2)直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”(3)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()答案：(1)(2)(3)
4、(4)(5)2(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30B45C60D90解析：选C连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()A4个B3个C2个D1个解析：选A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面4(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()AmlBmnCnlDmn解析：选C由已知，l，l，又n，nl，C正确5(教材习题
5、改编)两两相交的三条直线最多可确定_个平面解析：当三条直线共点且不共面时，最多可确定3个平面答案：3(对应学生用书P96)平面的基本性质明技法共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点提能力【典例】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，
6、E、F分别是AB和AA1的中点求证：E、C、D1、F四点共面证明：如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为E、F分别是AB和AA1的中点，所以EFA1B且EFA1B又因为A1D1BC且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以EFCD1，所EF与CD1确定一个平面，所以E、F、C、D1，即E、C、D1、F四点共面母题变式 本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明： 如图，由本例知EFCD1，且EFCD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE，且PD1F，又CE平面ABCD，且D1F平面A1ADD1，所以P平面A
7、BCD，且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，所以CE、D1F、DA三线共点刷好题已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CGBC，CHDC求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点证明：(1)连接EF、GH，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EFBD又因为CGBC，CHDC，所以GHBD，所以EFGH，所以E、F、G、H四点共面(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FHACM，所以M平面EFHG，M平面ABC又因为平面EFHG平面ABCEG，所以MEG，所以FH、E
8、G、AC共点空间两条直线的位置关系明技法空间两直线位置关系的判断方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决提能力【典例】 (1)下列结论正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.ABCD(2)已知a、b、c是相异直线，、是相异平面，则下列命题中正确的是
9、()Aa与b异面，b与c异面a与c异面Ba与b相交，b与c相交a与c相交C，Da，b，与相交a与b相交解析：(1)选B错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；由公理4可知正确；错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；由平行直线的传递性可知正确故选B(2)选C如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但acA，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，c，ac，则a与b不相交，故D错误刷好题1若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，
10、l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定解析：选D构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1l4，当取l4为BB1时，l1l4，故排除A、B、C，选D2已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()A0B1C2D3解析：选B在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立异面直线所成的角明技法用平移法求异面直线所成的角的三
11、步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角提能力【典例】 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_.解析：如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的角，在AGP中AGGPAP，所以APE.答案：母题变式 在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为，求cos 的值解：
12、设N为BF的中点，连接EN，MN.则MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角不妨设正方形ABCD的边长为4，则EN，EM2，MN.在MEN中，由余弦定理得cosMEN.即cos .刷好题(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()AB CD解析：选C将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos .故选C
