1、BA1B1C1OCAxyz厦门市 2020 届高中毕业班 3 月线上质量检查数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.15：DBCBC 610：AABAB 1112：DC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 27 1440 1512 16),2()2,(+三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.17本题主要考查正弦定理、余弦定理和解三角形等知识，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想本题满分 12 分解：（1）因为 coscos()cosbAcBcaB=，所以sincossincos(s
2、insin)cosBACBCAB=，2 分所以sincossincos2sincosBAABCB+=，即sin()2sincosABCB+=，3 分因为在ABC中，ABC+=，(0,)C，所以sin2sincosCCB=，且sin0C，4 分所以1cos2B=，5 分因为(0,)B，所以3B=6 分（2）因为22BDDC=，所以1BD=，2CD=，3BC=，因为ABC的面积为3 3，所以 13 sin3 323c=，解得4c=，8 分由余弦定理得222212cos422422 332ADABBDAB BD=+=+=，9 分所以222222(2 3)16ADBDAB+=+=，即 ADBD，10
3、分所以2213ACADBD=+=，11 分所以13sin13CDCADAC=12 分18本题主要考查直线与平面位置关系，利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、转化与化归思想本题满分 12 分（1）证明：因为 AO 平面11BB C C，所以1AOB C，1 分因为1BCBB=，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BCB C，2 分因为1AOBCO=，所以1B C 平面1ABC，4 分所以1B CAB 5 分（2）因为11A B 与平面11BB C C 所成的角为30，11A BAB，所以 AB 与平面11BB C C 所成的角为30，因
4、为 AO 平面11BB C C，所以 AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO，所以=30ABO，令2BC=，则1=2=3,=1B CBOOA，以O 为坐标原点，分别以1,OB OB OA为,x y z 轴建立如图空间直角坐标系，6 分则(0,0,0)O，(3,0,0)B，1(0,1,0)B，(0,0,1)A，1(3,0,0)C，BCAD因为111(0,0,1)(3,1,0)(3,1,1)OAOAAAOABB=+=+=+=，所以1(3,1,1)A，平面11B C B 的一个法向量为(0,0,1)OA=，8 分设平面111B C A 的一个法向量为(,)xzny=，则11111100nA
5、BC Bn=，即3030 xzxy+=，令1x=，则3y=，3z=，(1,3,3)n=，10 分所以21cos,7|n OAn OAnOA=，所以二面角111AB CB的余弦值为217 12 分19本题考查茎叶图与直方图的应用，考查22列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查数据处理能力、求解运算能力，考查样本估计总体思想本题满分 12 分解：（1）由题知，女生样本数据中“安全通”为 6 人，非“安全通”为 14 人，男生样本中“安全通”人数为122010)025.0035.0(=+人，非“安全通”的人数为 8 人，列出22列联表如下：2 分 假设0H：“安全通”与性别无关，所以2
6、K 的观测值为841.3636.322182020)141286(402=k，4 分所以没有 95%的把握认为“安全通”与性别有关 5 分（2）由题知，随机选 1 女生为“安全通”的概率为3.0，选 1 男生为“安全通”的概率为6.0，6 分 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，0784.0)6.01()3.01()0(22=XP，3024.0)6.01(6.0)3.01()6.01)(3.01(3.0)1(122212=+=CCXP，22112222(2)0.3(10.6)0.3(10.3)0.6(10.6)(10.3)0.60.3924P XCC=+=，1944.0)6.01(6.03.
7、06.0)3.01(3.0)3(122212=+=CCXP，0324.06.03.0)4(22=XP，9 分所以 X 的分布列为X01234P 0.0784 0.3024 0.3924 0.1944 0.0324 10 分所以()0 0.07841 0.30242 0.39243 0.19444 0.03241.8E X=+=12 分20本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化思想本题满分 12 分解：（1）设(,)P x y，因为点 P 在线段 AB 上，且|2|BPPA=，所以3(,0),(0,3)2xABy，2 分男生
8、女生合计安全通12618非安全通81422合计202040因为|3AB=，所以223()(3)92xy+=，即2214xy+=，所以点 P 的轨迹 的方程为2214xy+=5 分（2）设1122(,),(,)M x yN xy，当l 的斜率存在时，设:l ykxm=+，由221,4xyykxm+=+得222(41)8440kxkmxm+=，6 分所以222(8)4(41)(44)0kmkm=+，即22410km+，2121222844,4141kmmxxx xkk+=+，7 分因为直线,QM QN 的斜率之和为 2，所以1212112yyxx+=，所以1212(1)()22mxxkx x+=，
9、即2(1)2221mkmkm+=，所以1mk=，9 分当1mk=时，满足22410km+，即0，符合题意，此时:1l ykxk=+恒过定点(1,1)，10 分当l 的斜率不存在时，12xx=，12yy=，因为直线,QM QN 的斜率之和为 2，所以122212222111122yyyyxxxxx+=+=，所以21x=，此时:1l x=，恒过定点(1,1)，综上，直线l 恒过定点(1,1)12 分21本题考查函数的导数与函数的单调性、最值等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论、函数与方程、化归与转化、数形结合思想本题满分 12 分 解：（1）()e2e(2)xxfxaa=+2e(2
10、)e2exxxaa+=2 分(e2)(e1)exxxa+=，3 分当0a 时，()0fx，()f x 在 R 上单调递减；4 分当0a 时，由()0fx得2lnxa，所以()f x 在2,ln a上单调递减；5 分由()0fx得2lnxa，所以()f x 在2ln,a+上单调递增 6 分综上，当0a 时，()f x 在 R 上单调递减；当0a 时，()f x 在2,ln a上单调递减，在2ln,a+上单调递增（2）解法一：当2x=时，22()e2e(2)022faa=+，即222(e)02ea+，所以0a，7 分令()()(2)cose2e(2)(2)cosxxg xf xaxaaxax=+=
11、+，则()e2e(2)(2)sinxxg xaaax=+2e2(2)(2)sinexxaaax=+8 分若2a，则当0,x时，()0g x，所以()g x 在0,上单调递增；当(,)x+时，()e2e(2)(2)sine2e(2)(2)xxxxg xaaaxaaa=+2e2e44404aa,所以当0,)x+时，()g x 单调递增，所以()(0)0g xg=10 分若02a，则(0)2(2)0ga=，()e2e(2)(2)sine2e(2)(2)e2e4xxxxxxg xaaaxaaaa=+=，由 e2e40 xxa=得242ln0axa+=，所以242(ln)0aga+，所以0242(0,l
12、naxa+，使得0()0g x=，且当0(0,)xx时，()0g x，所以()g x 在0(0,)xx上单调递减，所以当0(0,)xx时，()(0)0g xg=，不合题意综上，a 的取值范围为2a 12 分解法二：当2x=时，22()e2e(2)022faa=+，即222(e)02ea+，所以0a，7 分若2a，由（1）知：()f x 在2ln,xa+上单调递增，因为2a，所以2ln0a，所以()f x 在0,)x+上单调递增，所以当0,)x+时，()(0)2(2)cosf xfaax=+.9 分若02a，令()()(2)cose2e(2)(2)cosxxg xf xaxaaxax=+=+，则
13、()e2e(2)(2)sinxxg xaaax=+2e2(2)(2)sinexxaaax=+10 分所以(0)2(2)0ga=，()e2e(2)(2)sine2e(2)(2)e2e4xxxxxxg xaaaxaaaa=+=，由 e2e40 xxa=得242ln0axa+=，所以242(ln)0aga+，所以0242(0,lnaxa+，使得0()0g x=，且当0(0,)xx时，()0g x，所以()g x 在0(0,)xx上单调递减，所以当0(0,)xx时，()(0)0g xg=，不合题意综上，a 的取值范围为2a 12 分22本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能
14、力；考查数形结合、函数与方程思想满分 10 分（1）22cos,2sinxy=+=（为参数）曲线1C 的普通方程为()2224xy+=，即2240 xyx+=2 分cosx=，siny=，24cos0=曲线1C 的极坐标方程为4cos=5 分 （2）依题意设1(,)A ，2(,)B ，由4cos=得14cos=由4sin=得24sin=04，12124cos4sinABOAOB=7 分OM 是圆1C 的直径，2OAM=在直角OAMr中，4sinAM=8 分在直角BAMr中，4AMB=ABAM=，即4cos4sin4sin=9 分 4cos8sin=，即1tan2=10 分23本题考查绝对值不等
15、式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想满分 10 分解：（1）()62f，2316aa+，即314aa+1 分当3a 时，不等式化为3143aaa+，4a 2 分当13a时，不等式化为()()31413aaa+，此时 a 无解 3 分当1a 时，不等式化为()()3141aaa+，0a 4 分综上，原不等式的解集为|0a a 或4a 5 分（2）要证Rx，1()3+1f xaa恒成立即证Rx，12sin1+1xaa 恒成立 6 分2sin x 的最小值为 2，只需证121+1aa ，即证11+12aa+8 分又111111+11122aaaaaaaaaa+=+=+=11+12aa+成立，原题得证 10 分
