福建省南平市2020届高三数学毕业班第一次综合质量检测试题文PDF2020021601135.pdf

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1、南平市 20192020 学年高中毕业班第一次综合质量检查文科数学（满分：150 分考试时间：120 分钟）出题意图总体指导思想是由于是第一次综合质量检测，以考查基础知识和基础能力为主，考通性通法。设置的题目兼顾到二类校学生的情况，容易和较容易题比例大。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,Ax xBx x

2、则RBA A.12xxB.12xxC.12xxD.12xx【解析】1R Ax x，21RBAxx，故选 B【考查意图】本题以集合为载体，考查补集与交集等知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.2.若复数ii+a1=-z为纯虚数，则实数 a 的值为A 2B1C 1D 2【解析】i+=ii=1=212121aaa+-a-z）（ii，由已知01=-a且01+a，解得1=a，故选 B【考查意图】本题以复数为载体，考查复数的概念和复数的除法运算等知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.3.已知1ln 2a，1ln 2b,12ec(其中 e 为自然对数的底数)，则AcabB acbCbcaD

3、 cba【解析】11ln2a ，1ln02b，120e1c，可得：bca,故选 B【考查意图】本题以对数、指数为为载体，考查对数、指数的运算及比较大小等知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.4.已知平面向量 a 与b满足(3,1)a，|4b，且(2)aba，则 abA 2B3C 4D5【解析】由221(3)2a，又(2)aba 得：2(2)2220abaaa ba b，1a b，22222244abaa bb，故选 C【考查意图】本题以平面向量为载体，考查平面向量的坐标运算，模及数量积运算等知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.5一个盒子中装有 4 个大小、形状完全相同的小球，

4、其中 1 个白球，2 个红球，1 个黄球，若从中随机取出 1 个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出 1 个球，则两次取出小球颜色不同的概率是A 58B 18C 56D 16【解析】基本事件为共 16 个，两次取出小球颜色相同的事件有 6 个，所以，两次取出小球颜色相同的概率是 63168，两次取出小球颜色不同的概率是35188故选 A.【考查意图】本题以古典概型为载体，考查用列举法求基本事件的总数、对立事件概率等知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.6.已知椭圆)0(1=2222baby+ax：E过点 P（2322，），椭圆E 的离心率为

5、22,则椭圆E 的焦距为A1B 2C2D.22【解析】由已知得 ac=22，1432122=+ba，又222c+b=a，联立解得12=c，a,b=1，因此焦距为 2，故选 B【考查意图】本题以椭圆为载体，考查椭圆及其几何性质等知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.7.已知函数()3sin 2cos2f xxx，把函数()f x 的图象沿 x 轴向左平移 6个单位，得到函数()g x 的图象下列关于函数()g x 的说法正确的是A.在,2 上是减函数B.在区间2,63上的值域为1,1C.函数()g x 是

6、奇函数D.其图象关于直线2x 对称【解析】()2sin(2)6f xx，()2sin 2()2sin 22cos2662g xxxx.()g x 是偶函数,在,2 上不单调,在区间2,63上的值域为2,1，其图像关于直线2x对称.故选D.【考查意图】本题以三角函数为载体，考查三角函数图象变换与性质等知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.8.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”右图是解决此问题的一个程序框图，其中 a 为松长、b 为竹长，则输出的

7、n A.5B.3C.4D.2【解析】n=1 时，a=9,b=4;n=2 时，a=13.5,b=8;n=3 时，a=20.25,b=16;n=4 时，a=30.375,b=32,此时输出 n=4。故选C.【考查意图】利用程序框图的顺序结构、循环结构,结合实际问题的已知条件求出输出的 n 的值。考查程序框图的三种基本逻辑结构及应用，考查学生的文化素养和计算能力。9.函数2xxxx=xf+cossin)(在-，上的图像大致为ABCD【解析】)(xf为奇函数，排除 B、C，当 x0时，0)(xf，排除 D，故选 A【考查意图】本题以函数的大致图像为载体，主要考查从函数的奇偶性判断图像的对称性和从函数取

8、值判断图像的变化趋势等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养.10.给出下列四个命题：*0 xN，使得0sin12x；0a 是210axax 恒成立的充分条件；函数ln()xf xx在点1(e,)e处不存在切线；函数2()9lnf xxx存在零点其中正确命题个数是A1B2C3D.4【解析】01x,sin12,正确；210axax 恒成立，需0a 或2040aaa解得：40a，错误；函数ln()xf xx在点1(e,)e处切线方程为1ey，错误；函数2()9lnf xxx，(1)10f ，(3)9ln390f(1)(3)0ff，所以()f x 在1

9、,3 存在零点，正确；故选 B【考查意图】本题以充分条件、简易逻辑、函数导数的应用等知识为载体，主要考查不等式恒成立、函数导数的几何意义、函数零点的判断等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养.11.在 ABC中，0120ABC,D 是线段 AC 上的点，030DBC，若 ABC的面积为2 3，则 BD 的最大值是A2B3C5D6【解析】由12 3sin1202 ac 得8ac,因为ABCABDBCDSSS,即112 3sin 90sin 3022BDcBDa,得8 38 3328BDac，当且仅当2ac时，即4,2ac时，BD 取到最大值是3.

10、故选 B.【设计意图】本题以三角形为载体，考查学生运用三角形面积公式的综合能力,并能运用基本不等式求最值.考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养.12.已知定义在 R 上的连续函数()f x 满足()(4)f xfx，且(2)0f，()fx为函数()f x 的导函数，当2x 时，有()()0f xfx，则不等式()0 x f x的解集为A(0,6)B(2,0)C(,2)D(,2)(0,6)【解析】构造函数()(),(2)xg xe f xx，则()()()()()0 xxxg xe f xe fxef xfx，()g x在(,

11、2)单调递增，2(2)(2)0gef，当(,2)x 时，()0g x，当(2,2)x 时，()0g x，又0 xe，当(,2)x 时，()0f x，当(2,2)x 时，()0f x，又()f x 满足()(4)f xfx，()f x 图象关于直线2x 对称，当(2,6)x 时，()0f x，当(,2)(6,)x 时，()0f x，不等式()0 x f x可化为：0()0 xf x或0()0 xf x，可解得：(,2)(0,6)x 故选 D【考查意图】本题以函数性质、导数的应用等知识为载体，主要考查函数的对称性、函数导数应用于判断函数单调性，解不等式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数

12、形结合思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.已知2cos()44，则sin 2.【解析】由sin 2cos(2)cos 2()2422232cos12()1444 .【考查意图】本题以三角恒等变换公式为载体，考查学生运用角的变换的综合能力.考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.14.已知数列 na是公差为2 的等差数列，若21a ，51a ，61a 成等

13、比数列，则8a.【解析】2526(1)11aaa，即2111(41)151adadad得110a,又2d ，84a 【考查意图】本题以等差数列、等比数列为载体，考查学生运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.15.已知直三棱柱111-ABC A B C 的高为 2 3，3BC，0120BAC，则该三棱柱外接球的表面积为.解：底面外接圆半径为12sinBCrA，外接球的半径22211()1342RrAA，外接球的表面积为2416R.【考查意图】考查余弦定理、正弦定理的应用，考查柱体体积、球的表面积计算公式，考查三棱柱与其外接球的结构关系，考查学生

14、的计算能力、空间想象能力。16.已知点12,F F 分别为双曲线)0,0(1=：2222babyax-C的左、右焦点，A 为直线ax34=与双曲线C 的一个交点，若点 A 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_.解：设4,3aAy（），代入1=2222by-ax化简得2297 by=，由已知得AFAF21，由向量知识得297)34)(34(bcaca=+-，又222cba=+，整理得27=22ab，则C 的离心率223271=+=e【考查意图】本题以双曲线为载体，主要考查直线、双曲线及其几何性质等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程

15、思想,考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗。以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对照数据x(吨)4567y(吨)2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程axby;),(2121xbyaxnxyxnyxbniiniii（2）已知该厂技术改造前生产 8 吨甲产品的生产能耗为 7 吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测

16、节能降耗后生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？17.（本小题满分 12 分）【解析】(1)5.345.4435.2,5.547654yx,2 分,5.805.4746355.2441iii yx4 分,12676542222412iix5 分,7.05.541265.35.545.80442241241xxyxyxbiiiii7 分,35.05.57.05.3xbya8 分.35.07.0 xy所求的回归方程为9 分(2)把8x代入回归方程可预测相应的生产能耗是吨25.535.087.0y，10 分7-5.25=1.75 吨，11 分所以，预测生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术

17、改造前降低 1.75 吨.12 分【考查意图】本题以统计为载体，主要考查线性回归方程等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析核心素养.18.（本小题满分 12 分）已知等比数列na的前 n项和为nS，且21(,)nnSaaR nN.（1）求数列 na的通项公式；（2）设11nnnnabS S,求数列b n 的前 n项和nT.18.（本小题满分 12 分）【解析】（1）方法一:当1n 时，1121aSa.1 分当2n 时，112nnnnaSSa ,3 分因为 na是等比数列，所以121aa 满足式，所以 21aa，即1a，5 分因此等比数列 na的首项

18、为 1,公比为 2,所以等比数列 na的通项公式是12nna.6 分方法二:当1n 时，1121aSa.1 分当2n 时，112nnnnaSSa3 分于是232,4aa aa,由已知得2213aa a,解得10()aa或舍去,5 分因此等比数列 na的首项为 1,公比为 2,于是等比数列 na的通项公式是12nna.6 分（2）由（1）知21nnS ，8 分则11nnnnabS S,即1121121212121nnnnnnb，10 分所以121111111113377152121nnnnTbbb ,所以11121nnT.12 分方法二:111+1111=nnnnnnnnnnassbS Ss s

19、ss，8 分于是121223341111111111111nnnnnTbbbssssssssss 10 分由（1）知21nnS ，于是11121nnT 12 分【考查意图】本题以等比数列为载体，考查学生求数列通项公式的方法、数列前项和的方法，考查学生运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.19.（本小题满分 12 分）如图，在几何体 ABCA1B1C1 中，四边形 ABB1A1 为矩形，AA1CC1且 AA1=2CC1，E 为 AB1 的中点（1）求证：CE平面 A1B1C1；（2）若平面 ABB1A1平面 ABC，ABBC，ABBCCC12

20、，求三棱锥 E-ACC1 的体积.19.【解析】（本小题满分 12 分）(1)证明如图，取 A1B1 中点 F，连接 EF，FC1，E 为 AB1 中点，EF/A1A 且 EF=12A1A，2 分AA1CC1 且 AA1=2CC1，EF/CC1 且 EF=CC1，即四边形 EFC1C 为平行四边形，CEC1F.4 分111CEA B C 平面，1111C FA B C 平面，CE平面 A1B1C1.6 分(2)平面 AB B1A1平面 ABC，交线为 AB又矩形 AB B1A1 中 A A1AB，AA1平面 ABC，8 分AA1CC1，CC1平面 ABC，9 分BB1CC1，111BBCAC

21、平面，111CCCAC 平面，BB111CAC平面10 分11111111222EACCBACCB ACCCABCVVVV11 分11122222323 12 分【考查意图】考查直线与平面平行、垂直的位置关系，考查平面与平面垂直的性质、锥体体积计算公式，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力，考查化归转化的数学思想。20（本小题满分 12 分）已知抛物线：Cxy42=，抛物线C 的准线为l，焦点为F，A 点位于第一象限内且在抛物线C 上运动，直线 AO（O 为坐标原点）交l 于 B 点，直线 BF 交抛物线C 于ED、两点，M 为线段 DE 中点.（1）若 AF=5，求直线 FB的方程

22、；（2）试问直线 AM 的斜率是否为定值,若是，求出该值；若不是，说明理由.20【解析】（本小题满分 12 分）（1）抛物线：Cxy42=的准线为1x ，焦点为F（1,0）2 分由 AF=5 及抛物线定义得 A 点横坐标为 4，3 分由 A 点位于第一象限内且在抛物线：Cxy42=上得 A 点坐标为（4，4），4 分于是OAk=1，则直线 OA 的方程为xy=，与准线1x 联立解得 B（-1，-1）5 分因此BFk=21，所以直线 FB的方程为2121-x=y，即210 xy 6 分（说明：若通过几何法或其它方法得出BFk=21OAk=21，然后再求直线方程也一样给分）（2）由已知直线 OA

23、的斜率存在，设直线 OA 的方程为 ykx，与准线1x 联立解得 B（k-，1），于是2kk BF=，7 分由已知0k，故设直线 FB的方程为12+=ykx，与xy42=联立并消去 x 得0482=-k-yy，8 分由于264160k 设1122(,),D x yE xy（），则k821=+yy，则212162xxk9 分由于 M 为线段 DE 中点，于是 M 点坐标为284(1,)kk，10 分直线 OA 的方程）（0=kkxy，与xy42=联立解得 A（kk4,42），11 分所以直线 AM 的斜率为 0，综上可知直线AM 的斜率为定值 012 分【考查意图】本题以直线、抛物线为载体，考查

24、直线、抛物线及其几何性质、直线与抛物线位置关系等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.21.（本小题满分 12 分）已知函数()lnaf xxx，其中 aR.（1）试讨论函数)(xf的单调性；（2）若1a ，试证明：ecos()xxf xx.20.（本小题满分 12 分）【解析】（1）由221()axafxxxx(0)x 知：1 分（i）若0a，2()0(0)xafxxx，)(xf在区间0,上为增函数2 分（ii）若0a，当 x0,a 时，有()0fx，)(xf在区间0,a 上为减函数当 x,a 时，有

25、()0fx，)(xf在区间,a 上为增函数 4 分综上：当0a 时，)(xf在区间0,上为增函数；当0a 时，)(xf在区间0,a 上为减函数；)(xf在区间,a 上为增函数5 分（2）若1a ，则1()ln(0)f xxxx要证ecos()xxf xx，只需证 ln1ecosxxxx，即证：ln ecos1xxxx（i）当 01x 时，ln0 xx，而 ecos1 1cos1 1cos10 xx 此时：ln ecos1xxxx6 分（ii）当1x 时，令()ecosln1xg xxxx，0,x 7 分()esinln1xg xxx8 分设()()esinln1xh xg xxx，则1()ec

26、osxh xxx1x ，1()ecose1 10 xh xxx 9 分当1x 时，()h x 单调递增，()(1)esin1 10h xh，即()0g x()g x 在1,单调递增，()(1)ecos1 10g xg 10 分即：()ecosln10 xg xxxx ln ecos1xxxxecos()xxf xx11 分综上：当0 x 时，有ecos()xxf xx12 分【考查意图】本题以函数导数的应用知识为载体，主要考查函数导数应用于判断函数单调性，证明不等式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论思想，构造新函数思想方法，考查逻辑推理核心素养.请考生在第 22、23 二题中

27、任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2 cos()14，曲线C 的参数方程为：2(cossin)cossinxy，（为参数），BA,为直线 l 上距离为 2 的两动点，点 P 为曲线C 上的动点且不在直线l 上(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程(2)求PAB面积的最大值【解析】法一：直线l 的极坐标方程1)4(cos2 化成1

29、2）已知,Ra b，若|22|2)(xbaxf,对一切实数 x 都成立，求证：12ba【解析】（1）由1)(xf可得：121tx，即2121txt解集为（-1，0），所以1t3 分当21x时，不等式2)(xxf化成212xx，解得：1x当21x时，不等式2)(xxf化成212xx，解得：1x综上所述，解集为(,1)(1,)5 分（2）由题意得baxx2|22|12|对一切实数 x 恒成立，从而min|)22|12(|2xxba6 分3|)22()12(|22|12|xxxx|22|12|xx的最小值为 3 8 分32 ba，又 Rba,1)3(32baaba10 分22.【解析】（本小题满分

31、1）求t 并解不等式2)(xxf；（2）已知：Rba,，若|22|2)(xbaxf,对一切实数 x 都成立，求证：12ba.解：（1）由1)(xf可得：121tx，即2121txt解集为（-1，0），所以1t3 分当21x时，不等式2)(xxf化成212xx，解得：1x当21x时，不等式2)(xxf化成212xx，解得：1x综上所述，解集为(,1)(1,)5 分（3）由题意得baxx2|22|12|对一切实数 x 恒成立，从而min|)22|12(|2xxba6 分3|)22()12(|22|12|xxxx|22|12|xx的最小值为 3 8 分32 ba，又 Rba,1)3(32baaba10 分

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