1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。53.3最大值与最小值第1课时最大值与最小值必备知识自主学习导思1.函数的极小(大)值与函数的最小(大)值有何关系？2.如何求函数在某一闭区间上的最小(大)值？1.函数的最大值与最小值前提在函数定义域I内存在x0条件对任意的xI，总有f(x)f(x0)对任意的xI，总有f(x)f(x0)结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值 微提醒函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是定义域内所有函数值中的最大者，最小值必须是定义域内所有函数值中的最小者2.求f(x)在a，
2、b上的最值的两个步骤第一步：求f(x)在(a，b)上的极值；第二步：将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值 微提醒最值不一定是极值，极值也不一定是最值结合图形观察yf(x)在a，b上的最值可能出现在哪里提示：最值可能出现在极值点或者区间端点处1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值()(2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值()(3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值()(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最
3、小值，但若有极值，则可有多个极值. ()提示：(1).函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值(2).闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值. (3).(4).若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2函数f(x)x24x7在x3，5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3)Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5)Df(5)，f(3)【解析】选B.因为f(x)2x4，所以当x3，5时，f(x)0，故f(x)在3，5上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).3(教材例题改编)函数y
4、x44x3在区间2，3上的最小值为()A72 B36 C12 D0【解析】选D.因为yx44x3，所以y4x34.令y0，解得x1.当x1时，y1时，y0，函数单调递增，所以函数yx44x3在x1处取得极小值0.而当x2时，y27，当x3时，y72，所以当x1时，函数yx44x3取得最小值0.关键能力合作学习类型一求函数的最值(数学抽象、数学运算)1函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值【解析】选D.f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1，1)时，f(x)0，所以f(x)在(1，1)上是单调递减函数，
5、无最大值和最小值2函数f(x)在区间2，4上的最小值为()A0 B C D【解析】选C.f(x)，当x2，4时，f(x)0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值求函数最值的四个步骤第一步，求函数f(x)的定义域第二步，求f(x)，解方程f(x)0.第三步，列出关于x，f(x)，f(x)的变化情况表第四步，求极值、端点值，确定最值警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较【补偿训练】1.函数y3x4x3在区间0，2上的最大值是()A1 B2 C0 D1【解析】选A.设f(x)3x4x3，所以f(x)12x233(12x)(12x).因为x0，2，所以当x时，f(x)0.又f
6、(0)0，f1，f(2)26，所以函数y3x4x3在区间0，2上的最大值是1.2已知函数f(x)x312x8在区间3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm的值为()A16 B12 C32 D6【解析】选C.因为f(x)3x2123(x2)(x2)，由f(3)17，f(3)1，f(2)24，f(2)8，可知Mm24(8)32.类型二含参数的最值问题(数学抽象、数学运算)【典例】已知函数f(x)ln xax(aR).(1)求函数f(x)的单调区间(2)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值四步内容理解题意条件：已知函数f(x)ln xax(aR).结论：(1)求函数f(x)的单调区间；(2
7、)当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值思路探求(1)求导，求单调区间(2)讨论函数在1，2上的单调性，求最值书写表达(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间为(0，).当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，书写表达单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a.所以
8、当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0a0得x2，由f(x)0得0x2，所以f(x)在2，0上为增函数，在0，2上为减函数，所以f(x)maxf(0)m3，所以f(x)2x36x23.又f(2)37，f(2)5，所以f(x)min37.2已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值【解析】f(x)3x23a3(x2a).若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，有最大值f(0)0.若a0，则令f(x)0，解得x.因为x0，1，则只考虑x的情况(1)若01，即0a1，则当x时，f(x)有最大值f()2a.(如
9、表所示)x0(0，)(，1)1f(x)+0-f(x)02a3a1 (2)若1，即a1，则当0x1时，f(x)0，函数f(x)在0，1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0a1，x时，f(x)有最大值2a；当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.类型三与最值有关的综合问题(数学运算、逻辑推理)角度1求参数的范围【典例】若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_【思路导引】利用函数的最小值点与区间的关系求范围【解析】函数f(x)2x2ln x，x(0，)，所以f(x)4x，令
10、f(x)0得，x，由题意可知：解得1k，所以实数k的取值范围是：1k.答案：本例中的函数不变，试求函数在区间上的最小值【解析】函数f(x)2x2ln x，x(0，)，所以f(x)4x，令f(x)0得，x.所以当0x时，f时，f0，函数单调递增所以当a时，函数有最小值fminf2a2ln a；当a时，函数有最小值fminfln 2.角度2证明不等式【典例】当x0时，证明：不等式ln (x1)xx2.【思路导引】利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f(x)ln (x1)xx2.因此要证明原不等式，即证f(x)0在x0时恒成立【证明】设f(x)ln (x1)xx2，则f(x)1x
11、.当x(1，)时，f(x)0，且仅当x0时f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数于是当x0时，f(x)f(0)0，所以当x0时，不等式ln (x1)xx2成立1关于与最值有关的参数问题一般从单调区间对参数的影响，最值的大小对参数的影响两个方面讨论关键是弄清函数的单调性，函数的单调性决定了函数的单调区间及最值的取值2证明不等式f(x)g(x)，x(a，b)的步骤(1)将要证明的不等式f(x)g(x)移项可以转化为证明f(x)g(x)0；(2)构造函数F(x)f(x)g(x)，研究F(x)的单调性；(3)若f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是增函数只需保证F(
12、a)0；(4)若f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是减函数只需保证F(b)0.1函数f(x)x22ax1在0，1上的最小值为f(1)，则a的取值范围为_【解析】f(x)2x2a，f(x)在0，1上的最小值为f(1)，说明f(x)在0，1上单调递减，所以当x0，1时，f(x)0恒成立，即2x2a0.所以ax.所以a1.答案：(，12设af(a)，又f(1)f(1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(1)与f(a)的大小因为f(0)f(1)a10，所以f(x)的最大值为f(0)b，所以b1.又因为f(1)f(a)(a1)2(a2)0，所以f(x)的最小值为f(1)1
13、aba，所以a.所以a.故所求函数的解析式是f(x)x3x21.3证明不等式xsin xtan xx，x.【证明】令f(x)tan x2xsin x，x，则f(x)(2x)(sin x)2cosx.因为x，所以1cosx0，cos xsin2x0，所以f(x)0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)f(0)0，即tanx2xsin x0，即xsin xtan xx.课堂检测素养达标1下列结论正确的是()A若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定在xa和xb时取得D若f
14、(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值【解析】选D.函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则()A函数f(x)没有最大值也没有最小值B函数f(x)有最大值，没有最小值C函数f(x)没有最大值，有最小值D函数f(x)有最大值也有最小值【解析】选C.由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)
15、g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)【解析】选A.令F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)，又f(x)g(x)，故F(x)0，所以F(x)在a，b上单调递减，所以F(x)maxF(a)f(a)g(a).4(教材练习改编)函数f(x)x33x29xk在区间4，4上的最大值为10，则其最小值为_【解析】f(x)3x26x93(x3)(x1).由f(x)0得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.则f(x)maxk510，得k5，所以f(x)mink7671.答案：715求函数f(x)sin 2xx，x的最值【解析】f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得cos 2x，又因为x，所以2x，.所以2x.所以x.所以函数f(x)在上的两个极值分别为f，f.又f，f.比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min.【补偿训练】求函数yf(x)x42x25在区间2，2上的最大值与最小值【解析】先求导数，得y4x34x.令y0，即4x34x0，解得x11，x20，x31.x变化时，y，y的变化情况以及f(2)，f(2)的值如表：x2(2，1)1(1，0)0(0，1)1(1，2)2y000y1345413从表格知，当x2时，函数有最大值13；当x1时，函数有最小值4.关闭Word文档返回原板块
