1、把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。角度制与弧度制的互换：一些特殊角的弧度数:(课本8页)角度弧度1.2.1 任意角的三角函数sincostan你能回忆一下初中学过的锐角三角函数(正弦sinA,余弦cosA,正切tanA)的定义吗?正弦锐角的对边与斜边的比余弦锐角的邻边与斜边的比正切锐角的对边与邻边的比11/11/2025oyxP(，)的终边 r锐角三角函数定义思考:在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?如何用直角坐标系内点的坐标表示锐角三角形的三角函数？xOyMP(x,y)1 在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆（即：r=1）r=1（x0）当为
2、任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么 （1）叫做的正弦,记作sin，即sin=y；（2）叫做的余弦,记作cos，即cos=x ；（3）叫做的正切(tangent)，记作tan，即tan=（x0）xOyA(1,0)P(x,y)任意角三角函数的定义:定义域：R定义域：R定义域：正弦、余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。以上三种函数统称三角函数如何求角的三角函数值?关键：求出角终边与单位圆的交点。例1：求的正弦,余弦和正切值。yxO练习：课本15页1yoP(x,y)在平面直角坐标系中,设角的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它到原点的距离为r,（r
3、=|OP|=）0 xyxMr练习：课本15页2 例2：已知角的终边经过点P0（-3，-4），求角的正弦、余弦和正切值解：由已知可得：OP0=（-3）2+（-4）2=5于是，sin=y=-y1-|MP|OP|M0P0|OP0|45-cos=x=-x1-|OM|OP|OM0|OP0|35-tan=yxsincos43MMP(x,y)P(x,y)OOPP00(-3,-(-3,-4)M0三角函数值的符号问题 根据刚才所学的知识，将正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号填入下图中(课本13页)Oxysin+（）（）（）Oxycos（）（）（）（）Oxytan（）（）（）（）-+-+-+-+10-1010
4、-10例3：求证：当且仅当下列不等式组成立时，角为第三象限角，反之也对sin0，tan0证明：当为第三象限角时，上式显然成立 因为式sin0成立，所以角的终边可能位于 第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合；又因为式tan0成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限下面我们证明如果式都成立，那么为第三象限角终边相同的角的同一三角函数的值是否相等?终边相同终边相同的角的集合点的坐标相同同一函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一其中 作用：把求任意角的三角函数值转化为求0到2角的三角函数值.例4：确定下列三角函数值的符号.（1）cos250；（2）sin（）；-4（3）tan（-
5、672）；（4）tan3解：（1）因为250是第三象限角，所以cos2500（3）因为tan（-672）=tan（48-2360），而48是第一象限角，所以tan（-672）0sin（）0-4（2）因为是第四象限角，所以-4（4）因为tan3=tan（+2）=tan，而的终边在x轴上，所以tan3=0练习：课本15页5例5：求下列三角函数值:三角函数线思考：如图，设角为第一象限角，角的正弦、余弦值能否分别用一条线段表示？P（x，y）OxyM思考：若角为第三象限角，角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？P（x，y）OxyM我们也能用线段来表示三角函数flash|sin|=|y|=|MP|cos|
6、=|x|=|OM|我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关类似的，如果我们可以用坐标轴的方向来规定线段OM、MP的方向，就可以使它们的取值与P点的坐标联系起来 当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x其中x为P点的横坐标这样，无论哪一种情况都有 当角的终边不在坐标轴上时，以O为始点、M为终点，规定：cos=OM=xxOyA(1,0)P(x,y)MOM称之为正弦线 当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y其中y为P点的纵坐标这样，无论哪一种情况都有 同理，当
7、角的终边不在坐标轴上时，以M为始点、P为终点，规定：sin=MP=yxOyA(1,0)P(x,y)MMP称之为余弦线 像OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（directed line segment）注意：书写的时候要先写起点的字母，再写终点的字母，不能颠倒!思考：能用有向线段来表示正切吗？（正切线）几何画板演示A(1,0)xOyP(x,y)23-2作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线.(课本17页)23-（3）136-（4）MT 解：（3）如图，MP为正弦线，OM为余弦线，TA为正切线 2作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并求出它们的正弦、余弦和正切的值.23-（3）136-（4）（4）如图，MP为正弦线，OM为余弦线，TA为正切线MTA(1,0)xOyP(x,y)作三角函数线的具体步骤如下：1）画单位圆，2）设的终边与单位圆交于点P，作PMx轴于M，则有向线段MP是正弦线。3）有向线段OM是余弦线。4）设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点A作垂线与角的终边（或其反向延长线）交于点T，则有向线段AT就是正切线。
