1、24.1平面向量数量积的物理背景及其含义预习课本P103105，思考并完成以下问题(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？ (2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？ (3)向量数量积的性质有哪些？ (4)向量数量积的运算律有哪些？ 1向量数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义a与b的数量积(或内积)是数量|a|b|cos 记法ab|a|b|cos (2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.点睛(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值
2、来决定(2)两个向量的数量积记作ab，千万不能写成ab的形式2向量的数量积的几何意义设两个非零向量a，b，它们的夹角为.(1)投影的概念：向量b在a的方向上的投影为|b|cos .向量a在b的方向上的投影为|a|cos .(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积点睛(1)b在a方向上的投影为|b|cos (是a与b的夹角)，也可以写成.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零3向量数量积的性质设a与b都是非零向量， 为a与b的夹角(1)abab0.(2)当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|.(3
3、)aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.点睛对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直4向量数量积的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)；(3)(ab)cacbc(分配律)点睛(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(2)(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立1判断下列命题是否
4、正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积仍然是向量()(2)若abbc，则一定有ac.()(3)若ab0，则a与b的夹角为钝角()(4)若ab0，则ab.()答案：(1)(2)(3)(4)2若|a|2，|b|，a与b的夹角为60，则ab()A2B.C1 D.答案：B3已知|a|10，|b|12，且(3a)36，则a与b的夹角为()A60 B120C135 D150答案：B4已知a，b的夹角为，|a|2，|b|3.(1)若135，则ab_；(2)若ab，则ab_；(3)若ab，则ab_.答案：(1)3(2)6或6(3)0向量数量积的运算 典例(1)已知向量a与b的夹角为120，且
5、|a|4，|b|2，求：ab; (ab)(a2b)(2)如图，正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbcca.解(1)由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算活学活用1在等腰直角三角形ABC中，ABBC4，则_，_，_.解析：(1)由题意，得
6、|4，|4，|4，所以44cos 900，44cos 13516，44cos 13516.答案：016162ABC的外接圆圆心为O，AB2，AC3，BC，求.解：()，在上的投影为|，|2.同理，|.2.与向量的模有关的问题 典例(1)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.(2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析(1)令e1与e2的夹角为，e1e2|e1|e2|cos cos .又0180，60.b(e1e2)0，b与e1，e2的夹角均为30，be1|b|e1|cos 301，从而|b|.(2)a，b的夹角为45
7、，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.答案(1)(2)3向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a|，但计算两向量的和与差的长度用|ab|.活学活用已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)|3a4b|；(3)|(ab)(a2b)|.解：由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204，a2|a|216，b2|b|24.(1)|ab|2(ab)2a22abb2162(4)412，|ab|2.(2)|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b291624(4)164304，|3a4b|4.(3)(
8、ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412，|(ab)(a2b)|12.两个向量的夹角和垂直题点一：求两向量的夹角1设向量a，b满足|a|b|1及|3a2b|，则a，b的夹角为()A.B.C.D.解析：选A设a与b的夹角为，由题意得(3a2b)27，9|a|24|b|212ab7，又|a|b|1，ab，|a|b|cos ，即cos .又0，a，b的夹角为.题点二：证明两向量垂直2已知a，b是非零向量，当atb(tR)的模取最小值时，求证：b(atb)证明：|atb|，当t时，|atb|有最小值此时b(atb)batb2ab|b|2abab0.b(atb)题点三：利用夹角和垂直求参数3已知
9、|a|2，|b|1，向量a，b的夹角为60，ca5b，dma2b，当m为何值时，c与d垂直解：由已知得ab21cos 601.若cd，则cd0.cd(a5b)(ma2b)ma2(5m2)ab10b24m5m2109m120，m.故当m时，c与d垂直求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借助0，求出的值(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值 层级一学业水平达标1已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.B.C. D.解析：选C由题意，知ab|a
10、|b|cos 4cos 2，即cos ，又0，所以.2已知|b|3，a在b方向上的投影为，则ab的值为()A3B.C2D.解析：选B设a与b的夹角为.|a|cos ，ab|a|b|cos 3.3设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则a与b的夹角为()A150 B120C60 D30解析：选B由|a|b|c|且abc，得|ab|b|，平方得|a|2|b|22ab|b|22ab|a|22|a|b|cos |a|2cos 120.4已知平面向量a，b满足|a|，|b|2，ab3，则|a2b|()A1 B.C4 D2解析：选B根据题意，得|a2b|.故选B.5若向量a与b的夹角为60，|b
11、|4，(a2b)(a3b)72，则|a|()A2 B4C6 D12解析：选C(a2b)(a3b)72，a2ab6b272，|a|2|a|b|cos 606|b|272，|a|22|a|240，解得|a|6或|a|4.又|a|0，|a|6.6已知|a|4，a与b的夹角为30，则a在b方向上的投影为_解析：a在b方向上的投影为|a|cos 4cos 302.答案：27设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)_.解析：(2e1e2)(3e12e2)6e7e1e22e67cos 602.答案：8已知在ABC中，ABAC4，8，则ABC的形状是_解析：因为|cosB
12、AC，即844cosBAC，所以cosBAC，即BAC60.又ABAC，故ABC是等边三角形答案：等边三角形9已知向量a，b的夹角为30，且|a|，|b|1，求向量pab与qab的夹角的余弦值解：pq(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2312.|p|ab|，|q|ab|1，cos .10已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解：(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos 1，cos ，.(2)(a2b)bab2b2|a|b|cos 2b2123.
13、(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.层级二应试能力达标1如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|ab|()A20B.C2 D.解析：选C由题意，知ae1e2，be1e2，所以ab2e14e2，所以|ab|2，故选C.2已知向量a，b满足|a|1，ab，则向量a2b在向量a方向上的投影为()A1 B.C1 D.解析：选A设为向量a2b与向量a的夹角，则向量a2b在向量a方向上的投影为|a2b|cos .又cos ，故|a2b|cos |a2b|1.3已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|ab|
14、()A1 B.C. D3解析：选C由于投影相等，故有|a|cosa，b|b|cosa，b，因为|a|1，|b|2，所以cosa，b0，即ab，则|ab|.4.如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则()A. BC. D解析：选A易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF，取HF的中点为O，则()()2212，2212，因此.5设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2_.解析：法一：由abc0，得cab.又(ab)c0，(ab)(ab)0，即a2b2.则c2(ab)2a2b22aba2b2
15、2，|a|2|b|2|c|24.法二：如图，作a，b，则c.ab，ABBC，又ab，(ab)c，CDCA，所以ABC是等腰直角三角形，|a|1，|b|1，|c|，|a|2|b|2|c|24.答案：46已知向量a，b的夹角为45，且|a|4，(2a3b)12，则|b|_；b在a方向上的投影等于_解析：(2a3b)a2ab3b212，即3|b|2|b|40，解得|b|(舍负)，故b在a方向上的投影是|b|cos 451.答案：17已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解：(1)设a，b的夹角为，(ab)(ab)，a2b2，即|a|2
16、|b|2.又|a|1，|b|.ab，|a|b|cos ，cos ，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos |b|2，|ab|.8设向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解析：由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，画出2t215t70的图象，如图若2t215t70，则t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角，设2te17e2(e1te2)，0，可得所求实数t的取值范围是.
