1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三数学下学期第一次在线月考试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合，由此求得【详解】由，解得，所以.故选：
2、C【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.2.定义运算，若，则复数对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：，所以复数对应的点在第二象限，选B.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下
3、面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期大致在8月C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】【分析】利用折线图的性质直接求解【详解】解：由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故正确；在中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故正确；在中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30万人，故错误；在中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，
4、波动性更小，变化比较平稳，故正确故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题4.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ） A. 0B. 2C. 4D. 14【答案】B【解析】【详解】由a=14，b=18，ab，则b变为1814=4，由ab，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2故选B5.已知均为单位向量，若，则与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
5、】由可求出，再根据向量的夹角公式，即可求出与的夹角【详解】因为，所以，解得设与的夹角为，所以故选：B【点睛】本题主要考查向量夹角公式和向量的模的计算公式的应用，属于基础题6.函数 在的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及与的大小关系辨别函数的图象【详解】，所以，函数为奇函数，排除D选项；当时，则，排除A选项；又，排除B选项故选C【点睛】本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题7.的展开式
6、中的系数为（ ）A. 320B. 300C. 280D. 260【答案】B【解析】展开式的通项为：，则：，据此可得：的系数为.本题选择B选项.8.5人并排站成一行，如果甲乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A. 12B. 36C. 72D. 120【答案】C【解析】【分析】由分步原理，先排除去甲、乙两人外的3人，再将甲、乙两人从4个空中选2个插入即可得解.【详解】解:先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共3=6种不同的排法，再将甲、乙两人从4个空中选2个插入共=12种不同的排法，即5人并排站成一行，如果甲乙两个不相邻，那么不同的排法种数是， 故选C.【点睛】本题考查了排列组合中的不相邻问
7、题，属基础题.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（ ）A. B. C. 6D. 【答案】C【解析】由题可得立体图形：则,所以最长棱为6点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可10.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是A B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x），从而得到g（x）图象的一条对称轴是.详解：将
8、函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3sin2（x）+=3sin（2x）的图象，故g（x）=3sin（2x）令 2x=k+，kz，得到 x=+，kz 则得 y=g（x）图象的一条对称轴是，故选C点睛：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，函数y=Asin（x+）的图象的对称轴，属于中档题 y=Asin（x+）图象的变换，函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.11.设，则（ ）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】B【解析】【分
9、析】容易得出，即得出，从而得出，【详解】，.又，即，故选B.【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于012.过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，连接，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，连接，可得当且仅当为右顶点时，取得
10、等号，即最小值5故选【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则向量在方向上的投影为_【答案】3【解析】【分析】先求出的值，再由可得结果.【详解】因为，所以,向量在方向上的投影为,故答案为3.【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积的运算，属于中档题.平面向量数量积主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.14.的内角的对边分别为.若，则的面积为_.【答案
11、】【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算15.在直三棱柱中，且,，设其外接球的球心为，且球的表面积为，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】先计算球的半径为，确定球心为的中点，根据边角关系得到，计算面积得到答案.【详解】球的表面积为如图所示：为中点，连接 ，故三角形的外心在
12、中点上，故外接球的球心为的中点.在中：，故；在中：，故，故 故答案为【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.16.以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，则等于_【答案】.【解析】【分析】画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得p的值.【详解】如图：，解得：，故答案为【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设为等
13、差数列的前n项和，.（1）求的通项公式；（2）若成等比数列，求.【答案】（1）（2）324【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式，列出关于和的方程组，解方程组即可求解；（2）由题意，写出数列前n项和公式，根据等比中项公式列方程，求解值，即可求解.【详解】（1）为等差数列的前项和，.，解得，.（2）由（1）知，.成等比数列，即解得，【点睛】本题考查（1）等差数列基本量的求解（2）等比中项概念，属于基础题.18.每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设
14、每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量超过350mm的概率；（2）在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量100，200）200，300）300，400）400，500）亩产量500700600400【答案】（1） ；（2）乙品种杨梅的总利润较大.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中矩形面积和为1，计
15、算第四组的频率，再求出第三组矩形面积的一半，求和即可求出对应的概率值，再利用独立重复试验概率公式可得结果；（2）根据直方图求随机变量的概率，可得随机变量的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期望，与过去种植的甲品种杨梅平均每年的总利润为28万元比较得出结论和建议.【详解】（1）频率分布直方图中第四组的频率为该地区在梅雨季节的降雨量超过的概率为所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为（或.）（2）据题意，总利润为元，其中.所以随机变量（万元）的分布列如下表： 273531.222.4 0.20.40.30.1故总利润（万元）的期望 （万元）因为，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总
16、利润（万元）期望更大.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.19.如图，梯形中，将沿折到的位置，使得平面平面.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用长度关系可证，根据面面垂直的性质定理，可得平面，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，运用空间向
17、量法,即可求解.【详解】（1）在梯形中，过作于，则，又，所以，故，即.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，设平面的法向量，则，即，解得，令，得，设平面的法向量，则，即，解得，令，得，所以，结合图形可知，二面角为钝角，它的余弦值为.【点睛】本题考查空间垂直的转换证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角，考查计算能力，属于中档题.20.已知点，直线为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.【答案】（1） (2) 【解析】【分析】（1）设动点，则
18、，由展开计算得到的关系式即可；(2)当直线的斜率不存在（或者为0）时，可求出四点坐标，即可得到；当直线的斜率存在且不为0时，设为，直线的方程为，与轨迹的方程联立，结合根与系数的关系可得到+的表达式，然后利用函数与导数知识可求出的取值范围【详解】（1）设动点，则，由，则，所以，化简得.故点的轨迹的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，轴，可设，当直线的斜率为0时，轴，同理得， 当直线的斜率存在且不为0时，设为，则直线的方程为：，设，由得:， 则所以，则，直线方程为：，同理可得：，所以令，则，由，得；，得；在上单调递减，在上单调递增，又，故.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，
19、考查了向量的数量积，考查了直线与椭圆统合问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力，及计算能力，属于难题21.已知函数在区间上为增函数，.（1）求实数的取值范围；（2）当取最大值时，若直线：是函数的图像的切线，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）的最小值为-1.【解析】【分析】（1）根据在上恒成立可得实数的取值范围（2）由题意得，设切点坐标为，根据导数的几何意义求得，又由，得，从而得到，然后再利用导数求出函数的最小值即可【详解】（1），又函数 在区间上为增函数，在上恒成立，在上恒成立令，则当时，取得最小值，且，实数的取值范围为（2）由题意的，则，设切点坐标，则切线的斜率，又，令，则，故当时，单
20、调递减；当时，单调递增当时，有最小值，且，的最小值为【点睛】本题考查导数的几何意义和导数在研究函数性质中的作用，其中在研究函数的性质中，单调性是解题的工具和基础，而正确求导并判断导函数的符号是解题的关键，考查计算能力和转化意识的运用，属于基础题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；（2）若分别为曲线，上的动点，求的最小值，并求取得最小值时，点的直角坐标.【答案】(1) ,的参数方程为（
21、为参数）. (2) 【解析】【分析】(1)由参数方程、普通直角坐标方程及极坐标方程间的关系转化即可；(2)结合(1)的结论，设，利用点到直线的距离公式可得到的表达式，利用三角函数求最值即可得到的最小值，即的最小值，进而可以得到点的直角坐标【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去，得，由，即，即，的参数方程为（为参数）.（2）设曲线上动点为Q，则点到直线的距离：d=, 当时，即时，取得最小值，即的最小值为，.【点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题23.选修4-5：不等式选讲（1）如果关于的不等式
22、无解，求实数的取值范围；（2）若为不相等的正数，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值的意义得到，从而可得所求范围（2）由分析法得到即证明不等式成立即可，然后根据的大小关系分类讨论证明即可【详解】（1）令 ，则当时，；当时，；当时，综上可得，即故要使不等式的解集是空集，则有，所以实数的取值范围为（2）证明：由为不相等的正数，要证，即证，只需证，整理得，当时，可得，当时，可得，综上可得当均为正数时，从而成立【点睛】（1）解得第一问的关键在于转化，即转化为函数的图象与直线无公共点，结合函数的最小值及图象易得答案（2）证明不等式时，要根据不等式的特点选择合适的方法进行证明，常用的方法有综合法、分析法、放缩法等
