1、提能拔高限时训练35 双曲线一、选择题1.设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使F1AF2=90,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.解析:设|AF2|=t(t0),则|AF1|=3t.|AF1|-|AF2|=2t=2a.又t2+(3t)2=4c2,.答案:B2.设双曲线(a0,b0)的离心率为,且它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合,则此双曲线的方程为（ ）A. B.C. D.解析:,.而,.a=,c=3.b2=c2-a2=9-3=6.故双曲线的方程为.答案:D3.设a1,则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A.(,2) B.
2、(,) C.(2,5) D.(2,)解析:a1,00,b0)的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2;抛物线C2的准线为l,焦点为F2,C1和C2的一个交点为M,则等于（ ）A.-1 B.1 C. D. 解析:设M到l的距离为d,由题意得|MF2|=d,|MF1|=ed,|MF1|-|MF2|=2a,ed-d=2a,.答案:A7.(2009湖北部分重点中学高三第二次联考)双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值范围是（ ）A.4-4,4) B.4-4,2C.(4-4,2) D.4-4,2)解析:设双曲线的方程为(a0,b0),其中a2+b2=c2,2a+2b+2c=8,a+b+
3、c=4.(a+b)22(a2+b2),(4-c)22c2c2+8c-160c4-4或c-4-4(负根舍去).又a2+b2=c2,a+bc.而a+b+c=4,c2,即4-4c0,b0)的半焦距为c,离心率为.若直线y=kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c,则k等于（ ）A. B. C. D. 解析:由题意,知点(c,kc)在双曲线上,又.|,即.答案:C9.设F1、F2为曲线的焦点,P是曲线与C1的一个交点,则的值为（ ）A. B. C. D. 解析:C1为椭圆,F1(-2,0),F2(2,0).解方程组得四组解,即C1与C2有四个交点(关于x轴、y轴对称),不妨取第一象限的交点.答案:B10.
4、双曲线的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上,F1PF2的面积为,则等于（ ）A.2 B. C.-2 D.解析:sinF1PF2,再由双曲线中焦三角形面积公式知F1PF2=60,.答案:A二、填空题11.与椭圆有相同焦点,且以为渐近线的双曲线方程为_.解析:双曲线焦点在x轴上,且半焦距.又a=3,b=4.所求双曲线方程为.答案:12.设双曲线(a0,b0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点,如果PQF是直角三角形,则双曲线的离心率e=_.解析:由题设,|yp|=,即,得a=b,又双曲线的两条渐近线的夹角为90,e=.答案: 13.过双曲线(a0,b0)的一个焦点作垂直于渐近线的直
5、线,与双曲线的两支都相交,则双曲线的离心率的取值范围是_.解析:不妨取渐近线,其垂线的斜率为,于是|,a2b2a20,b0且ab)的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题:PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上;PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上;PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上;PF1F2的内切圆必通过点(a,0).其中真命题的代号是_.(写出所有真命题的代号)解析:设PF1F2的内切圆与PF1F2的三边PF1,PF2,F1F2相切的切点分别为S、T、M,则有|PF1|-|PF2|=|PS|+|SF1|-|PT|-|TF2|=|SF1|-|TF
6、2|=|F1M|-|MF2|.又由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,|F1M|-|F2M|=2a.设点M坐标为(xm,0),则有(xm+c)-(c-xm)=2a,求得xm=a,即PF1F2的内切圆的圆心在直线x=a上,且与x轴相切,PF1F2的内切圆过点(a,0).综上所述,正确命题的代号为.答案:三、解答题15.已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且2(其中O为坐标原点),求k的取值范围.解:(1)设双曲线方程为(a0,b0).由已知得a=,c=2,b=1.故所求双
7、曲线方程为(2)将y=kx+代入,可得(1-3k2)x2-6kx-9=0,由直线l与双曲线交于不同的两点,得故k2且k22,得x1x2+y1y22.而x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=(k2+1)于是,解得.由得故k的取值范围为(-1,)(,1).16.设双曲线C:(a0)与直线l:x+y=1相交于不同的两点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.解:(1)由C与l相交于两个不同的点,知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.解得0a且
8、a1.双曲线的离心率.0a且e,即离心率e的取值范围为(,+).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1), =,(x1,y1-1)=(x2,y2-1).由此得x1=x2.由于x1、x2都是方程的根,且1-a20,x1+x2=,消去x2,得.a0,.此时满足0.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】过双曲线C:的右顶点A作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点,其中k1、k2满足关系式k1k2=-m2且k1+k20,k1k2.(1)求直线MN的斜率;(2)当m2=2+时,若MAN=60,求直线MA、NA的方程.解:(1)双曲线C:的右顶点A坐标为(1,0)
9、,设直线MA方程为y=k1(x-1),代入m2x2-y2-m2=0中,则m2x2-k12(x-1)2-m2=0,整理得(m2-k12)x2+2k12x-(k12+m2)=0,由根与系数的关系可知xmxa=,而xa=1,又k1k2=-m2,.于是ym=k1(xm-1)=.同理可知,于是有yM=yN,MNx轴,从而直线MN的斜率kMN=0.(2)MAN=60,说明AM到AN的角为60或AN到AM的角为60,则.又k1k2=-(2+),k1k2,从而则求得因此直线MA,NA的方程为y=x-1,y=-(2+)(x-1)或y=(2+)(x-1),y=-(x-1).【例2】双曲线(a1,b0)的焦距为2c
10、,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和sc,求双曲线的离心率e的取值范围.解:直线l的方程为,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a1,得到点(1,0)到直线l的距离,同理得到点(-1,0)到直线l的距离,s=d1+d2=由sc,得,即.于是得,即4e4-25e2+250.解不等式,得由于e10,所以e的取值范围是.【例3】已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,)为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程;(2)若Q是双曲线C上的任一点,F
11、1、F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.解:(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,该直线与圆x2+(y-)2=1相切,双曲线C的两条渐近线方程为y=x.故设双曲线C的方程为,又双曲线C的一个焦点为(,0),2a2=2,a2=1.双曲线C的方程为x2-y2=1.(2)若Q在双曲线的右支上,则延长QF2到T,使|QT|=|QF1|;若Q在双曲线的左支上,则在QF2上取一点T,使|QT|=|QF1|.根据双曲线的定义知|TF2|=2,点T在以F2(,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程是(x-)2+y2=4(x0).由于点N是线段F1T的中点,设N(x,y),T(xT,yT),则,则 把代入并整理,得点N的轨迹方程为x2+y2=1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
