1、 高三椭圆的定义、方程及基本性质（讲案）【教学目标】本节内容目标层级是否掌握理解椭圆的定义根据条件求解不同类型椭圆的方程椭圆中基本性质的应用及最值问题一、椭圆的定义椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距备注：定义中的常数（距离之和）要大于，否则轨迹不是椭圆，等于，轨迹是线段，小于，轨迹不存在【例题讲解】例1：平面内一动点到两定点的距离之和为常数，则点的轨迹为（ ）A椭圆 B圆 C无轨迹 D椭圆或线段或无轨迹 练1：已知点,动点满足，则动点的轨迹是（ ）A椭圆 B直线 C线段 D圆练2：已知点，动点满
2、足，则动点的轨迹是（ ）A椭圆 B直线 C线段 D圆【题型知识点总结】1. 判断轨迹方程是否为椭圆，就需要2个条件：1）一动点到两定点距离之和为定值2）这个定值要大于两点间距离。二、椭圆的标准方程焦点在轴：，焦点是，且焦点在轴：，焦点是，且【例题讲解】例1：已知椭圆的焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是_ 练1： 求焦点的坐标分别为,且过点的椭圆的方程练2：求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程例2：已知动圆P过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程练1：已知动圆P与圆相内切，且与圆相内切，求圆心P的轨迹方程【题型知识点总结】1. 对于求解方程的题目，要先把握住
3、焦点的位置，之后再去确定的关系2. 在动圆的内外切求解圆心轨迹方程时，表示圆心距与半径之间的关系是解题的关键三、椭圆的基本性质及应用定义到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）图像标准方程x2a2+y2b2=1ab0y2a2+x2b2=1ab0范围axa且bybbxb且aya顶点(a,0)，(a,0)，(0,b)，(0,b)(b,0)，(b,0)，(0,a)，(0,a)轴长长轴长=2a 短轴长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距F1F2=2c(c2=a2b2)离心率,越大，椭圆越
4、扁；越小，椭圆越圆【例题讲解】例1： 已知椭圆的离心率为，若面积为4的矩形的四个顶点都在椭圆上，点为坐标原点，则AB3CD练1：若表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）A B CD 练2：在平面直角坐标系中，已知椭圆，过左焦点倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点，以，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，则等于ABCD例2：已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于轴，且,则椭圆的离心率为 练1：已知是椭圆的两焦点，以线段为边作正若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）AB C D练2：设是椭圆的左、右焦点，P为直线上一点，F2PF1是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）A. B. C. D.
5、练3：过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，其中一点为为右焦点，若，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【题型知识点总结】1. 椭圆的性质中，经常考察的是离心率的求法，要注意数形结合，将图画出，再去通过条件找到各个量之间的关系。2. 离心率有2种计算方式，可以找的关系，也可以找的关系，如果题目中都出现了，就通过三者的关系替换其中一个即可四、椭圆中基本结论及应用1. 通径 ：过焦点垂直于长轴的弦长为通径2. 焦点三角形：周长为；过焦点的弦与另一个焦点所组成的三角形周长：面积为（=F1MF2)= (为点p的纵坐标)= (为焦点三角形的内切圆半径)3. 相同离心率的椭圆系方程：焦点在轴：；焦点在：4
6、. 焦半径公式,(,)5. 椭圆上任一点到焦点的最大距离：，最小值：6. 点差法（中点弦）AB是椭圆的不平行于对称轴的弦， 为AB的中点，则； 【例题讲解】例1：已知过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的左焦点， 则的周长为_ 练1： 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若则_练2：已知是椭圆的两个焦点,过且垂直于轴的直线交于两点,且,则的方程为() A. B. C. D.例2：已知椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_，的大小为_的面积为_练1：已知是椭圆ab0的两个焦点P为椭圆C上一点，且，若的面积为9，则b=_练2：是椭圆 上的点，是椭圆的焦点，若 ，求的面积例3：已知是椭圆的两
7、个焦点，是椭圆上任意一点.求的最大值. 例4：设为椭圆:的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_.练1：已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点若，则的方程为AB CD练2：点P为椭圆在第一象限内的一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标是_练3：已知椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形例5：已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为()A5 B7 C13 D15例6：点，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，求的最小值.练1：已知椭圆内有一点，为椭圆的左焦点，是椭圆上动点，则 的最大
8、值与最小值分别为 、 例7：在椭圆上，求点的坐标，使它到定点的距离最大练1：若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为() A2 B3 C6 D8例8：椭圆中，过点的弦恰被点平分，求弦所在的直线方程练1：在椭圆内，通过点，且被这点平分的弦所在直线方程的斜率（ ） A. B. C. D. 例9：已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于两点，若的内切圆半径为，则椭圆的离心率=（ ） A.B.或 C.D. 【题型知识点总结】1. 焦点三角形是椭圆中较为经常考察的考点，经常与面积和周长建立关系，需要再去对本部分的结论进行总结和理解2. 焦点三角形中的最值问题，本
9、质还是用椭圆中的距离定值问题，再联合三角形的三边关系进行处理【课后练习】【巩固练习】1：已知椭圆的长轴和短轴都在坐标轴上，且经过定点，长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的方程为_.2：已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程_3：椭圆和一定具有（ ）A相同的离心率 B相同的焦点 C相同的顶点 D相同的长轴长4：设椭圆的右焦点为F1，直线，若过点且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，且，则_5：为椭圆的两个焦点，以为圆心作圆，已知圆经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率_6：在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过的直
10、线交于两点，且的周长为16，那么的方程为_.7：设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，则的离心率为（ ）A. B. C. D.8：设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为，已知,求椭圆的离心率.9：已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为( ) ABCD 10：已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上. 若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或拔高练习（30Mins）1：设M是直线上的点，F1与F2是椭圆的焦点过点M以为焦点作椭圆C问M在何处时，所作椭圆C长轴最短，并求椭圆C的方程2：已知点，又是曲线上的点，则（ ）A BC
11、D3：如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_.4：若顶点的坐标分别为，边上的中线长之和为30，则的重心的轨迹方程为_5：已知椭圆, 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点 使得,则椭圆的离心率的取值范围为_6：如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是_.7：焦点在轴上，长轴长为20，短轴长为16的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为_8：设是椭圆长轴的两个端点若上存在点满足，则的取值范围是( ) A B C D9：设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点且坐标为(1)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值；(2)若为椭圆上异于的一点，且，求的值；(3)设是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值10：如图，已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点 (1)若，求椭圆的离心率；(2)若,求椭圆的方程
