1、第三节基本不等式考纲传真1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同号且不为零)；(3)ab(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，
2、那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)重要不等式链若ab0，则ab.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82Cxy281，当且仅当xy9时，等号成立故选C.3若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2Da2b22ab(ab)20，A错误；
3、对于B，C，当a0，b0，22.4若x1，则x的最小值为_5x(x1)1215，当且仅当x1，即x3时等号成立5若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_2由xy1得x22y222.当且仅当x22y2时等号成立利用基本不等式求最值考法1直接法或配凑法求最值【例1】(1)(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_(2)已知x，则f(x)4x2的最大值为_(1)(2)1(1)由题知a3b6，因为2a0,8b0，所以2a22，当且仅当2a，即a3b，a3，b1时取等号(2)因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4
4、x2的最大值为1.考法2常数代换法求最值【例2】已知a0，b0，ab1，则的最小值为_4因为ab1，所以(ab)222224.当且仅当ab时，等号成立拓展探究(1)若本例条件不变，求的最小值；(2)若将本例条件改为a2b3，如何求解的最小值解(1)52549.当且仅当ab时，等号成立(2)因为a2b3，所以ab1.所以121.当且仅当ab时，等号成立规律方法利用基本不等式求最值的三种思路,利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：(1)利用基本不等式直接求解.(2)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元
5、法、整体代换法等.(3)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. (1)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1B1C3 D4(2)(2018平顶山模拟)若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()Aa BaCa Da(3)已知正实数x，y满足2xy2，则的最小值为_(1)C(2)A(3)(1)当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3，选C.(2)由x0，得，当且仅当x1时，等号成立则a，故选A.(3)正实数x，y满足2xy2，则(2xy)，当且仅当xy时取等号的最小值为.基本不等式的实
6、际应用【例3】某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，所以13kk2，所以x3，每件产品的销售价格为1.5(元)
7、，所以2018年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)因为m0，(m1)28，所以y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元规律方法利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解(1)W(t)f(t)g(t)(120|t20|)(2)当t1,20时，4014t4012441(t5时取最小值)当t(20,30时，因为W(t)5594t递减，所以t30时，W(t)有最小值W(30)443，所以t1,30时，W(t)的最小值为441万元
