1、第三节平面向量的数量积及应用考点高考试题考查内容核心素养平面向量的数量积及应用2017全国卷T135分向量垂直的条件数学运算2016全国卷T135分向量垂直的条件数学运算 2015全国卷T45分向量的坐标运算数学运算命题分析高考对本节内容的考查形式为选择题或填空题，对向量的模、夹角及其应用是考查的重点，难度适中，分值为5分.1平面向量的数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定0a0.当ab时，90，这时ab0.(2)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积
2、，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos 的乘积2向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b| |x1x2y1y2|提醒：1辨明三个易误点(1)0与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000；0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系(2)ab0不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.(3)a
3、bac(a0)不能推出bc，即消去律不成立2有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为时不成立)1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0，可得a0或b0.()(4)两向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.()(5)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(6)(ab)ca(bc
4、)()(7)abac(a0)，则bc.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2向量a(1， 1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B0C1D2解析：选C方法一a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.方法二a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选C3设a，b是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A若ab|a|b|，则cosa，b1，a，b0，ab，充分若ab，则ab0或180，ab|a
5、|b|或ab|a|b|，不必要4(教材习题改编)若|a|5，|b|4，且|ab|221，则a与b的夹角为_解析：因为|ab|2a22abb221，即252ab1621，所以ab10，设a与b的夹角为，则cos ，.答案：5(2016北京卷)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_解析：设a与b夹角为，则cos ，又0，故.答案：平面向量数量积的运算明技法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解
6、决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解提能力【典例】 (2018天津模拟)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_解析：方法一取，为一组基底，则，所以|2|2421.方法二以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示的坐标系由于AB2，BC1，ABC60，所以CD1，等腰梯形ABCD的高为，所以A(0,0)，B(2,0)，D(， )，C，所以，(1,0)，又因为，所以E，F，因此.答案：母题变式 若本例条件变为“，”，其他条件不变，求的最小值解：由本例法二知：因为 ，所以E.因为 ，所以F.所以2 .当且仅当，
7、即时取等号，符合题意所以的最小值为.刷好题1(金榜原创)已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，那么ab的值为()A1B2C3D4解析：选D向量a(1，k)，b(2,2)，ab(3，k2)，又ab与a共线(k2)3k0，解得k1，ab(1,1)(2,2)12124，故选D2(2018广州模拟)已知向量a，b满足|b|4，a在b方向上的投影是，则ab_.解析： a在b方向上的投影是，设为a与b的夹角，则|a|cos ，ab|a|b|cos 2.答案：2平面向量基本定理的应用析考情利用平面向量数量积解决垂直、模及夹角问题是高考的常考内容，常以选择题或填空题形式出现，难度中低档，是高考的
8、高频考点 提能力命题点1：利用数量积解决垂直问题【典例1】 (2016全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8B6C 6D8解析：选D方法一因为a(1，m)，b (3，2)，所以ab(4，m2)因为(ab)b，所以(ab)b0，所以122(m2)0，解得m8.方法二因为(ab)b，所以(ab)b0，即abb232m32(2)2162m0，解得m8.命题点2：利用数量积求模或由模求参数问题【典例2】 (2016全国卷)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.解析：|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，ab0.又a(m,1)
9、，b(1,2)，m20，m2.答案：2命题点3：利用数量积求夹角或根据夹角求参数【典例3】 (1)(2016全国卷)已知向量，则ABC()A30B45C60D120解析：选A|1，|1，cosABC.(2)(2018泰安模拟)已知向量a(1，)，b(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m()A2BC0D解析：选B根据平面向量的夹角公式可得，即3m，两边平方并化简得6m18，解得m，经检验符合题意悟技法平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理
10、方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.刷好题1(2018大同检测)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_解析：由(a2b)(ab)6得a22b2ab6.|a|1，|b|2，1222212cosa，b6，cosa，b.a，b0，a，b.答案：2(2018九江模拟)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析：a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.答案：3平面向量数量积在几何中的应用明技法用向量解决平面几何问题的方法(1)建立平面几何与
11、向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行，垂直和距离，夹角问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系提能力【典例】 (1)(2018莱芜检测)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂心解析：选C由原等式，得()即()根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心(2)(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是(
12、)A2BCD1解析：选B方法一(解析法)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1,0)，C(1,0)图设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22. 当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B方法二(几何法)如图所示，2(D为BC的中点)，则()2.图要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min2|，问题转化为求|的最大值又|2，|22，()min(2)min2.故选B刷好题(2018绵阳模拟)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()ABCD解析：选B方法一如图，设m，n.根据已知得，m，所以mn，mn, (mn)m2n2mn.方法二建立平面直角坐标系，如图则B，C，A，所以(1,0)易知DEAC，FECACE60，则EFAC，所以点F的坐标为， 所以，所以(1,0).故选B
