1、16 椭圆、双曲线、抛物线1(2012福建)已知双曲线x24y2b21 的右焦点与抛物线 y212x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.5B42C3D5答案：A 易求得抛物线 y212x 的焦点为(3,0)，故双曲线x24y2b21 的右焦点为(3,0)，即 c3，故 324b2，b25，双曲线的渐近线方程为 y 52 x，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为52 31545.2(2012新课标全国)等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x的准线交于 A，B 两点，|AB|43，则 C 的实轴长为()A.2B22C4D8答案：C 抛物线 y21
2、6x 的准线方程是 x4，所以点 A(4，23)在等轴双曲线 C；x2y2a2(a0)上，将点 A 的坐标代入得 a2，所以 C 的实轴长为 4.3(2012山东)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32.双曲线 x2y21 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为()A.x28y221B.x212y261C.x216y241D.x220y251答案：D 因为椭圆的离心率为 32，所以 eca 32，c234a2，c234a2a2b2，所以b214a2，即 a24b2.双曲线的渐近线方程为 yx，代入椭圆方程得x2a2x2
3、b21，即 x24b2x2b25x24b21，所以 x245b2，x 25b，y245b2，y 25b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为25b，25b，所以四边形的面积为 4 25b 25b165 b216，所以 b25，所以椭圆方程为x220y251.4(2012北京)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点，其中点 A 在 x 轴上方，若直线 l 的倾斜角为 60，则OAF 的面积为_解析 直线 l 的方程为 y 3(x1)，即 x 33 y1，代入抛物线方程得 y2433y40，解得 yA433163 16223
4、(yB0，舍去)，故OAF 的面积为12123 3.答案 3圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有 12 个选择或者填空题，一个解答题选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与
5、导数的方法来解决问题的能力.必备知识椭圆x2a2y2b21(ab0)，点 P(x，y)在椭圆上(1)离心率：eca1b2a2；(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：2b2a.双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，点 P(x，y)在双曲线上(1)离心率：eca1b2a2；(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为：2b2a.抛物线 y22px(p0)，点 C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线上(1)焦半径|CF|x1p2；(2)过焦点弦长|CD|x1p2x2p2x1x2p，|CD|2psin2(其中 为倾斜角)，1|CF|1|DF|2p；(3)x1x2p24，y1y2p2；(4
6、)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切必备方法1求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为 y22ax 或 x22ay(a0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时 a 不具有 p 的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2my2n1(m0，n0)双曲线方程可设为x2my2n1(mn0)这样可以避免讨论和繁琐的计算2求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程(2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程(3)代入法：把所求动点
7、的坐标与已知动点的坐标建立联系(4)交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹注意：建系要符合最优化原则；求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.椭圆、双曲线、抛物线定义的应用圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现需熟练掌握 【例 1】已知椭圆x26y221 与双曲线x23y21 的公共焦点 F1，F2，点 P 是两曲线的一个公共点，则 cosF1PF2 的值为()A.14B.13C.19D.35审题视点
8、 听课记录审题视点 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求B 因点 P 在椭圆上又在双曲线上，所以|PF1|PF2|26，|PF1|PF2|23.设|PF1|PF2|，解得|PF1|6 3，|PF2|6 3，由余弦定理得 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|6 32 6 32162 6 3 6 313.涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用椭圆、双曲线的定义涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离【突破训练 1】如图过抛物线 y22px(p0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准线与点 A，B，C，若|BC|2|B
9、F|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析 作 BMl，AQl，垂足分别为 M、Q.则由抛物线定义得，|AQ|AF|3，|BF|BM|.又|BC|2|BF|，所以|BC|2|BM|.由 BMAQ 得，|AC|2|AQ|6，|CF|3.|NF|12|CF|32.即 p32.抛物线方程为 y23x.答案 y23x椭圆、双曲线、抛物线的几何性质圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，难度中档 【例 2】(2012东北三省四市教研协作体二次调研)以 O 为中心，F1，F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M，满足|MF1|2|MO|2|MF
10、2|，则该椭圆的离心率为()A.22B.33C.63D.64审题视点 听课记录审题视点 作 MNx 轴，结合勾股定理可求 c，利用椭圆定义可求 a.C 过 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 N 点，则 N 点坐标为c2，0，并设|MF1|2|MO|2|MF2|2t，根据勾股定理可知，|MF1|2|NF1|2|MF2|2|NF2|2，得到 c 62 t，而 a3t2，则eca 63，故选 C.离心率的范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到关于 a，c 的不等式，由这个不等式确定 e 的范围 【突破训练 2】设抛物线 y22px(p0)的焦
11、点为 F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_解析 抛物线的焦点 F 的坐标为p2，0，线段 FA 的中点 B 的坐标为p4，1 代入抛物线方程得 12pp4，解得 p 2，故点 B 的坐标为24，1，故点 B 到该抛物线准线的距离为24 22 324.答案 324求曲线的方程轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求 【例 3】(2011天津)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)(ab0)为动点，F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21 的左、
12、右焦点已知F1PF2 为等腰三角形(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足 AMBM2，求点 M 的轨迹方程审题视点 听课记录审题视点(1)根据|PF2|F1F2|建立关于 a 与 c 的方程式(2)可解出 A、B 两点坐标(用 c 表示)，利用AM BM 2 可求解解(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意可得|PF2|F1F2|，即 ac2b22c.整理得 2 ca2ca10，得ca12或ca1(舍)，所以 e12.(2)由(1)知 a2c，b 3c，可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线 PF2 方程为
13、 y 3(xc)A，B 两点的坐标满足方程组3x24y212c2，y 3xc.消去 y 并整理，得 5x28cx0，解得 x10，x285c，得方程组的解x10，y1 3c，x285c，y23 35 c.不妨设 A85c，3 35 c，B()0，3c.设点 M 的坐标为(x，y)，则 AMx85c，y3 35 c，BM(x，y 3c)由 y 3(xc)，得 cx 33 y.于是 AM8 315 y35x，85y3 35 x，BM(x，3x)由题意知 AMBM2，即8 315 y35x x85y3 35 x 3x2，化简得 18x216 3xy150.将 y18x21516 3x 代入 cx 3
14、3 y，得 c10 x2516x0，所以 x0.因此，点 M 的轨迹方程是 18x216 3xy150(x0)(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围【突破训练 3】(2012四川)如图，动点 M 与两定点 A(1,0)、B(2,0)构成MAB，且MBA2MAB.设动点 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程；(2)设直线 y2xm 与 y 轴相交于点 P，与轨迹 C 相交于点 Q、R，且|PQ|PR|，求|PR|PQ|的取值范围解(1)设 M 的坐标为
15、(x，y)，显然有 x0，且 y0.当MBA90时，点 M 的坐标为(2，3)当MBA90时，x2，且MBA2MAB，有 tanMBA 2 tanMAB1tan2MAB，即|y|x22|y|x11|y|x12，化简可得 3x2y230.而点(2，3)在曲线 3x2y230 上，综上可知，轨迹 C 的方程为 3x2y230(x1)(2)由y2xm，3x2y230 消去 y，可得x24mxm230.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，)内设 f(x)x24mxm23，所以4m21，f1124mm230，4m24m230，解得 m1，且 m2.设 Q、R 的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，y
16、R)，由|PQ|PR|有 xR2m 3m21，xQ2m 3m21.所以|PR|PQ|xRxQ 2m 3m212m3m21231 1m2231 1m214231 1m2.由 m1，且 m2，有 114231 1m2743，且14231 1m27.所以|PR|PQ|的取值范围是(1,7)(7,743)直线与圆锥曲线之间的关系在高考中，直线与圆锥曲线的位置关系是热点，通常围绕弦长、面积、定点(定值)，范围问题来展开，其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法，试题难度较大【例 4】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 33，过右焦点 F 的直线 l 与 C相交于 A，B 两点当 l
17、 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 22.(1)求 a，b 的值；(2)C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有OP OA OB 成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由审题视点 听课记录审题视点(1)由直线 l 的斜率为 1 过焦点 F，原点 O 到 l 的距离为 22 可求解；(2)需分直线 l 的斜率存在或不存在两种情况讨论设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由条件OP OA OB 可得 P 点坐标，结合 A、B、P 在椭圆上列等式消元求解解(1)设 F(c,0)，当 l 的斜率为 1 时，其方程为 xyc0，O 到
18、l 的距离为|00c|2c2，故 c2 22，c1.由 eca 33，得 a 3，b a2c22.(2)C 上存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有OP OA OB 成立由(1)知 C 的方程为 2x23y26.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(i)当 l 不垂直于 x 轴时，设 l 的方程为 yk(x1)C 上的点 P 使OP OA OB 成立的充要条件是 P 点的坐标为(x1x2，y1y2)，且 2(x1x2)23(y1y2)26，整理得 2x213y212x223y224x1x26y1y26，又 A、B 在椭圆 C 上，即 2x213y216,2x223y226，故 2
19、x1x23y1y230.将 yk(x1)代入 2x23y26，并化简得(23k2)x26k2x3k260，于是 x1x2 6k223k2，x1x23k2623k2，y1y2k2(x11)(x21)4k223k2.代入解得 k22，此时 x1x232.于是 y1y2k(x1x22)k2，即 P32，k2.因此，当 k2时，P32，22，l 的方程为 2xy20；当 k 2时，P32，22，l 的方程为 2xy 20.()当 l 垂直于 x 轴时，由OA OB(2,0)知，C 上不存在点 P 使OP OA OB 成立综上，C 上存在点 P32，22 使OP OA OB 成立，此时 l 的方程为 2
20、xy 20.本小题主要考查直线、椭圆、分类讨论等基础知识，考查学生综合运用数学知识进行推理的运算能力和解决问题的能力此题的第(2)问以向量形式引进条件，利用向量的坐标运算，将“形”、“数”紧密联系在一起，既发挥了向量的工具性作用，也让学生明白根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的通性通法【突破训练 4】设椭圆 E：x2a2y2b21(a，b0)过点 M(2，2)，N(6，1)两点，O 为坐标原点(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且OA OB？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由解(1)将 M，N 的坐标代入椭
21、圆 E 的方程得4a2 2b21，6a21b21，解得 a28，b24.所以椭圆 E 的方程为x28y241.(2)假设满足题意的圆存在，其方程为 x2y2R2，其中 0R2.设该圆的任意一条切线 AB 和椭圆 E 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当直线 AB 的斜率存在时，令直线 AB 的方程为 ykxm，将其代入椭圆 E 的方程并整理得(2k21)x24kmx2m280.由方程根与系数的关系得x1x2 4km2k21，x1x22m282k21.因为OA OB，所以 x1x2y1y20.将代入并整理得(1k2)x1x2km(x1x2)m20.联立得 m283(1k2)因为直线
22、AB 和圆相切，因此 R|m|1k2.由得 R263，所以存在圆 x2y283满足题意当切线 AB 的斜率不存在时，易得 x21x2283，由椭圆 E 的方程得 y21y2283，显然OA OB.综上所述，存在圆 x2y283满足题意讲讲离心率的故事椭圆、双曲线的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中或在双曲线中都有着极其特殊的应用，也是高考常考的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围一、以离心率为“中介”【示例 1】(2012湖北)如图，双曲线x2a2y2b21(a，b0)的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 B1，B2，两焦点为 F1，F2.若以
23、A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为 A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率 e_；(2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值S1S2_.解析(1)由题意可得 ab2c2bc，a43a2c2c40，e43e210，e23 52，e1 52.(2)设 sin bb2c2，cos cb2c2，S1S22bc4a2sin cos 2bc4a2bcb2c2b2c22a2 e2122 52.答案(1)1 52(2)2 52老师叮咛：离心率是“沟通”a，b，c 的重要中介之一，本题在产生关于 a，b，c 的关系式后，再将关系式转化为关于离心率
24、 e 的方程，通过方程产生结论.【试一试 1】(2012南通模拟)A，B 是双曲线 C 的两个顶点，直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 P，Q，且与实轴垂直，若PBAQ 0，则双曲线 C 的离心率 e_.解析 不妨设双曲线 C 的方程x2a2y2b21(a0，b0)，则 A(a,0)，B(a,0)设 P(x，y)，Q(x，y)，所以PB(ax，y)，AQ(xa，y)，由PBAQ 0，得 a2x2y20.又x2a2y2b21，所以a2y2a2y2b21，即1a2 1b2 y20 恒成立，所以 1a21b20.即 a2b2，所以 2a2c2.从而 e 2.答案 2二、离心率的“外交术”【示例
25、2】(2012潍坊模拟)已知 c 是椭圆x2a2y2b21(a b0)的半焦距，则bca 的取值范围是()A(1，)B(2，)C(1，2)D(1，2 解析 由bca a2c2ca 1e2e，又 0e1，设 f(x)1x2x,0 x1，则f(x)1x1x21x2x1x2.令 y0，得 x 22，则 f(x)在0，22上单调递增，在22，1 上单调递减，f(x)max112 22 2，f(0)1，f(1)1.1f(x)2，故 1bca 2.答案 D老师叮咛：离心率“外交”在于它可以较好地与其他知识交汇，本题中，如何求f(bc,a)的取值范围？结合离心率及关系式 a2b2c2，将待求式子转化为关于 e 的函数关系式，借助函数的定义域即 e 的范围产生函数的值域，从而完成求解.【试一试 2】(2012江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x2my2m241 的离心率为 5，则 m 的值为_解析 由题意得 m0，a m，b m24.c m2m4，由 eca 5，得m2m4m5，解得 m2.答案 2必考问题 高考资源网%
