1、刘 徽 的 工 作 不 仅 对 中 国 古 代 数 学 的 发 展 产 生 了 深 远 影 响 而 且 在 世 界 数 学 史 上 也 确 立 了 崇 高 的 历 史 地 位 成 为 中 国传 统 数 学 理 论 体 系 的 奠 基 者 之 一 经 他 注 释 的 九 章 算 术 影 响 支 配 中 国 古 代 数 学 的 发 展 余 年 是 东 方 数 学 的 典 范之 一 与 希 腊 欧 几 里 得 约 前 前 的 原 本 所 代 表 的 古 代 西 方 数 学 交 相 辉 映 鉴 于 刘 徽 的 巨 大 贡 献 所 以 不 少 书 上把 他 称 作 中 国 数 学 史 上 的 牛 顿 二
2、次根式内 容 清 单能 力 要 求二 次 根 式 的 概 念能 利 用 二 次 根 式 概 念 判 断 二 次 根 式存 在 的 可 能 性 二 次 根 式 的 加 减 运 算 法 则会 利 用 二 次 根 式 的 加 减 法 则 进 行 加减 运 算 二 次 根 式 的 乘 除 运 算 法 则能 根 据 先 乘 除 后 加 减 法 则 进 行 二 次根 式 的 混 合 运 算 熊 庆 来 是 中 国 著 名 的 数 学 家 和 教 育 家 他 生 于 年 卒 于 年 云 南 弥 勒 人 熊 庆 来 岁 时 考 入 云 南 省 高 等 学 堂 因 为 成 绩 优 异 岁 时 便 被 派 往 比
3、 利 时 学 习 采 矿 技 术 后 来 他 又 到 法 国 留 学 并 获 得 了 博 士 学 位 熊 庆 来 主 要 从 事 函 数 论 方面 的 研 究 他 定 义 了 一 个 无 穷 级 函 数 国 际 上 称 之 为 熊 氏 无 穷 数 年 江 苏 省 中 考 真 题 演 练一 选 择 题镇 江 若 式 子槡在 实 数 范 围 内 有 意 义 则 的取 值 范 围 是 南 京 槡的 值 等 于 槡南 通 计 算槡的 结 果 是 槡槡徐 州 若 式 子槡在 实 数 范 围 内 有 意 义 则 的 取值 范 围 是 无 锡 使槡有 意 义 的 的 取 值 范 围 是 二 填 空 题南 京
4、 使槡有 意 义 的 的 取 值 范 围 是盐 城 若 二 次 根 式槡有 意 义 则 的 取 值 范 围 是盐 城 使槡有 意 义 的 的 取 值 范 围 是 三 解 答 题苏 州 先 化 简 再 求 值 其中 槡扬 州 先 化 简 再 选 取 一 个 合 适 的值 代 入 计 算 泰 州 解 方 程 组并 求槡 的 值年 全 国 中 考 真 题 演 练一 选 择 题 四 川 泸 州 二 次 根 式槡 中 的 取 值 范 围 是内 蒙 古 包 头 二 次 根 式槡 中 的 取 值 范 围 是且 且 山 东 烟 台 槡的 值 是 山 东 潍 坊 如 果 代 数 式槡有 意 义 则 的 取 值
5、范围 是 天 津 估 计 槡 的 值 在 到 之 间到 之 间到 之 间到 之 间山 东 烟 台 若槡则 湖 南 怀 化 的 平 方 根 是 熊 庆 来 非 常 热 爱 教 育 事 业 他 为 培 养 中 国 的 科 学 人 才 做 出 了 卓 越 贡 献 年 他 在 清 华 大 学 当 数 学 系 主 任 时 从 学 术杂 志 上 看 到 了 华 罗 庚 的 名 字 了 解 到 华 罗 庚 的 自 学 经 历 和 数 学 才 华 后 破 格 录 取 只 有 初 中 学 历 的 华 罗 庚 到 清 华 大 学 学 习 槡四 川 宜 宾 根 式槡槡中 的 取 值 范 围 是 槡槡槡槡四 川 凉
6、山 州 已 知 槡 槡则 的 值 为 湖 北 孝 感 下 列 计 算 正 确 的 是 槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡槡湖 南 邵 阳 最 接 近 槡的 整 数 是 二 填 空 题贵 州 安 顺 计 算 槡槡江 西 当 时 槡的 值 是 湖 南 衡 阳 计 算 槡 槡槡 四 川 内 江 若 槡则 的 值 为 广 东 茂 名 已 知 一 个 正 数 的 两 个 平 方 根 分 别 为 和 则 的 值 是 湖 北 荆 州 若 等 式槡 成 立 则 的 取值 范 围 为 三 解 答 题 山 东 德 州 已 知 槡 槡 求的 值 上 海 计 算 槡槡 槡 湖 南 湘 潭 先 化 简 再 求 值 其 中 槡辽 宁
7、朝 阳 先 化 简 再 求 值 其中 槡趋 势 总 揽年 对 二 次 根 式 的 考 查 仍 将 以 基 本 题 型 为 主 考 查 时 多以 填 空 题 选 择 题 的 形 式 出 现 题 目 中 包 含 若 干 个 知 识 点 同 时渗 透 数 形 结 合 的 思 想 其 中 重 点 考 查 最 简 二 次 根 式 同 类 二 次 根式 的 概 念 以 及 二 次 根 式 的 化 简 求 值 可 能 还 会 与 一 元 二 次 方程 函 数 等 知 识 相 联 系 高 分 锦 囊理 解 二 次 根 式 的 有 关 概 念 能 正 确 运 用 二 次 根 式 的 运 算法 则 进 行 实 数
8、 的 混 合 运 算 要 特 别 注 意 二 次 根 式 运 算 的 法 则 方 法 技 巧 实 数 的 运在 熊 庆 来 的 指 导 下 华 罗 庚 通 过 不 断 的 努 力 成 为 我 国 著 名 的 数 学 家 我 国 许 多 著 名 的 科 学 家 也 都 是 熊 庆 来 的 学生 他 在 多 岁 高 龄 时 虽 已 身 染 重 病 还 是 耐 心 地 指 导 着 两 位 研 究 生 这 两 位 研 究 生 就 是 后 来 享 誉 数 学 界 的 数 学 家 杨乐 和 张 广 厚 熊 庆 来 爱 惜 和 培 养 人 才 的 高 尚 品 格 深 受 人 们 的 敬 佩 年 他 在 当
9、时 的 东 南 大 学 任 教 时 发 现 一 个 叫刘 光 的 学 生 虽 然 很 贫 困 但 非 常 有 才 华 熊 庆 来 便 经 常 指 点 他 读 书 研 究 在 经 济 上 还 经 常 帮 助 他 算 主 要 是 由 二 次 根 式 三 角 函 数 等 组 成 的 混 合 算 式 的 计 算 一 般难 度 不 大 运 算 时 要 认 真 审 题 确 定 符 号 明 确 运 算 顺 序 灵 活 运用 法 则 通 过 观 察 归 纳 猜 想 一 些 规 律 题 目 通 过 类 比 思 想 进 行 二 次 根 式 的 计 算 如 二 次 根 式 计 算 可类 比 同 类 项 计 算 槡槡
10、槡这 样 通 过 类 比 有利 于 掌 握 计 算 方 法常 考 点 清 单一 二 次 根 式 的 有 关 概 念二 次 根 式 的 定 义 形 如 槡的 式 子 叫 做 二 次 根 式 最 简 二 次 根 式 满 足 下 列 两 个 条 件 的 二 次 根 式 是 最 简 二 次 根 式 被 开 方 数 的 因 数 是 整 数 因 式 是 整 式 即 被 开 方 数 不 含被 开 方 数 中 不 含 的 因 数 或 因 式 二 二 次 根 式 的 性 质槡 槡 槡槡 三 二 次 根 式 的 运 算二 次 根 式 的 加 减 进 行 二 次 根 式 的 加 减 计 算 时 先 将 二 次 根
11、式 化 成 再 将 相 同 的 二 次 根 式 进 行 合 并 二 次 根 式 的 乘 除 槡槡槡槡因 式 的 外 移 槡如槡因 式 的 内 移 槡如 槡易 混 点 剖 析平 方 根 和 算 术 平 方 根 一 个 正 数 的 平 方 根 有 两 个 且 这 两 个 平 方 根 互 为 相 反 数 一个 正 数 的 正 的 平 方 根 才 是 此 正 数 的 算 术 平 方 根 的 平 方 根 和 算术 平 方 根 都 是 二 次 根 式 的 概 念 二 次 根 式 槡中 可 以 是 数 也 可 以 是 单 项 式 多 项 式 分 式等 代 数 式 但 必 须 要 求 这 是 前 提 最 简
12、二 次 根 式 与 同 类 二 次 根 式 同 类 二 次 根 式 是 在 化 简 为 最 简 二 次 根 式 的 基 础 上 比 较 被 开方 数 若 两 个 或 几 个 最 简 二 次 根 式 的 被 开 方 数 相 同 则 它 们 就 是同 类 二 次 根 式 槡 槡 槡但槡 不一定等于 槡 槡如槡 槡 槡 易 错 题 警 示例 江 苏 张 家 港 先化简 再求值 其 中 槡解 析 先 利 用 分 式 化 简 知 识 进 行 化 简 再 将 值 代 入 进行 二 次 根 式 的 计 算 答 案 原 式 当 槡时 原 式 槡例 浙 江 丽 水 计 算 槡 解 析 本 题 涉 及 特 殊 角
13、 的 三 角 函 数 值 绝 对 值 二 次 根 式化 简 负 指 数 四 个 考 点 在 计 算 时 需 要 针 对 每 个 考 点 分 别 进 行计 算 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 二 次 根 式 的 加 减只 将 系 数 相 加 减 答 案 原 式 槡槡槡例 湖 北 荆 门 先 化 简 后 求 值 其 中 槡解 析 本 题 是 一 道 关 于 分 式 化 简 和 二 次 根 式 的 综 合 类题 注 意 不 能 去 掉 分 母 答 案 原 式 当 槡时 原 式 槡槡有 一 次 熊 庆 来 为 了 资 助 刘 光 甚 至 卖 掉 了 自 己 穿 的
14、皮 袍 子 刘 光 成 为 著 名 的 物 理 学 家 后 经 常 满 怀 深 情 地 提 起 这 段 往事 他 说 教 授 为 我 卖 皮 袍 子 的 事 年 后 我 才 听 到 当 时 我 感 动 得 热 泪 盈 眶 这 件 事 我 永 生 不 能 忘 怀 他 对 我 们 这 一 代 付出 了 多 么 巨 大 的 关 爱 啊 年 江 苏 省 中 考 仿 真 演 练一 选 择 题无 锡 前 洲 中 学 模 拟 的 平 方 根 是 南 通 三 模 已 知槡 槡则 的 取 值 范 围 是通 州 兴 仁 中 学 一 模 函 数 槡中 自 变 量 的 取值 范 围 是 且 且 江 苏 九 校 联 考
15、 下 列 二 次 根 式 中 化 简 后 被 开 方 数 与槡的 被 开 方 数 相 同 的 是 槡 槡槡 槡二 填 空 题南 通 三 模 计 算槡的 结 果 正 确 的 是宿 迁 模 拟 函 数 槡中 自 变 量 的 取 值 范 围是 苏 州 吴 中 区 教 学 质 量 调 研 若槡则 实 数 的 值 为 盐 城 模 拟 与 槡的 积 为 正 整 数 的 是 写 出一 个 即 可 三 解 答 题无 锡 前 洲 中 学 模 拟 计 算 槡苏 州 吴 中 区 教 学 质 量 调 研 欲 穷 千 里 目 更 上 一 层楼 说 的 是 登 得 高 看 得 远 如 图 若 观 测 点 的 高 度 为
16、观 测者 视 线 能 达 到 的 最 远 距 离 为 则 槡 其 中 是 地 球半 径 通 常 取 小 丽 站 在 海 边 一 块 岩 石 上 眼 睛 离海 平 面 的 高 度 为 她 观 测 到 远 处 一 艘 船 刚 露 出 海 平面 求 此 时 的 值 第题连 云 港 模 拟 已 知 槡求 代 数 式 槡的 值年 全 国 中 考 仿 真 演 练一 选 择 题上 海 黄 浦 二 模 下 列 根 式 中 与 槡为 同 类 二 次 根 式的 是 槡槡槡槡新 疆 石 河 子 模 拟 当 时 二 次 根 式槡的值 为 湖 北 荆 门 东 宝 区 模 拟 下 列 计 算 槡槡 槡槡槡槡槡槡 槡其 中
17、 错 误 的 是四 川 内 江 模 拟 槡的 算 术 平 方 根 是 槡槡北 京 四 中 模 拟 下 列 属 于 最 简 二 次 根 式 的 是 槡槡槡槡 湖 北 武 汉 月 调 考 模 拟 二 次 根 式槡有 意 义 则 的 取 值 范 围 是 童 第 周 是 我 国 实 验 胚 胎 学 的 主 要 创 始 人 他 岁 才 到 学 校 读 书 岁 考 入 一 所 教 会 学 校 的 三 年 级 当 插班 生 由 于 基 础 差 他 在 中 学 读 书 时 十 分 吃 力 第 一 学 期 平 均 分 数 只 有 分 学 校 令 其 退 学 或 留 级 经 过 他 的 再 三 请 求 校长 才
18、允 许 他 跟 班 试 读 一 学 期 他 每 天 早 晨 天 不 亮 就 起 床 苦 读 晚 上 跑 到 马 路 上 靠 路 灯 自 修 试 读 结 束 时 他 的 平 均 分 数 达 到七 十 多 分 几 何 还 考 了 分 二 填 空 题上 海 奉 贤 区 调 研 方 程槡的 解 是贵 州 兴 仁 中 学 一 模 槡则 湖 北 黄 冈 浠 水 中 考 调 研 化 简槡深 圳 三 模 函 数 槡 中 自 变 量 的 取 值 范 围是 三 解 答 题上 海 青 浦 二 模 计 算 槡 槡槡槡四 川 中 江 县 毕 业 生 诊 断 考 试 计 算 槡 槡槡湖 北 武 汉 模 拟 先 化 简 再
19、 求 值 槡 槡槡 其 中 槡的 平 方 根 是 若 槡槡槡槡则 的 值 为 槡槡若 化 简 槡的 结 果 为 则 的 取 值范 围 是 为 任 意 实 数实 数 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 化 简槡 槡 槡第题计 算 槡槡槡槡计 算 槡 槡 计 算 槡槡槡槡 槡 槡判 断 下 面 各 式 是 否 成 立 槡 槡 槡 槡 槡 槡探 究 你 判 断 完 上 面 各 题 后 发 现 了 什 么 规 律 并 猜 想 槡 用 含 有 的 代 数 式 将 规 律 表 示 出 来 说 明 的 取 值 范 围 并 给 出 证 明二次根式年 考 题 探 究年 江 苏 省 中 考 真 题 演 练
20、 原 式 当 槡 时 原 式 槡槡槡槡槡 原 式 取 原 式 得 解 得 将 代 入 得 解 得 所 以 方 程 组 的 解 为 于 是槡 槡 槡年 全 国 中 考 真 题 演 练 解 析 解 析 解 析 槡是 求 的 算 术 平 方 根 解 析 解 析 槡 槡槡解 析 由 得 解 析 槡 解 析 由 槡 得 槡解 析 由 得 此 时 解 析 槡槡 无 法 合 并 槡槡 无 法 合 并 槡槡 解 析 槡槡 槡 解 析 槡槡槡槡槡 槡 解 析 槡槡槡 槡解 析 原 式槡槡槡 解 析 槡 解 析 由 得 且 解 析 槡 得原 式 当 槡 槡 时 原 式 槡 槡槡 原 式槡槡槡槡 当 槡 时 原 式
21、 槡槡 原 式 将 槡 代 入 上 式 原 式 槡槡槡槡 年 模 拟 提 优年 江 苏 省 中 考 仿 真 演 练 解 析 考 查 同 类 二 次 根 式 定 义 必 须 将 二 次 根 式 化 为最 简 二 次 根 式 后 才 可 判 断 槡答 案 不 唯 一 解 析 只 要 使 二 次 根 号 去 掉 即 可 例 如槡槡即 可 原 式槡 槡由 得 槡槡故 此 时 的 值 为 槡 槡 原 式 槡 当 槡 时 原 式槡槡 年 全 国 中 考 仿 真 演 练 解 析 槡槡 解 析 槡槡 解 析 槡 槡槡 解 析 槡的 算 术 平 方 根 是 槡解 析 槡槡槡 槡 槡 解 析 由 得 解 析 方
22、程 两 边 平 方 即 可 解 析 由 平 方 及 二 次 根 式 的 非 负 性 得 槡 解 析 槡槡 槡 且 解 析 保 证 被 开 方 的 二 次 根 式 非 负 性以 及 分 母 不 为 零 即 可原 式槡 槡 槡槡槡 原 式 槡 槡 槡 槡 槡 原 式 槡 槡 槡 槡 当 时 原 式 槡 槡考 情 预 测解 析 槡的 平 方 根 是 解 析 本 题 主 要 考 查 平 方 差 公 式 槡槡槡槡槡槡解 析 原 式 即 解 析 本 题 主 要 考 查 无 理 数 二 次 根 式 及 绝 对 值 的知 识 在 计 算 时 应 灵 活 运 用槡原 式 槡 槡槡 槡槡槡 槡 原 式槡槡 原 式 槡槡 槡 上 面 三 题 都 正 确 槡槡规 律 槡槡证 明 槡槡槡
