1、3.4.2基本不等式的应用1掌握基本不等式及变形的应用2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3能应用基本不等式解决生活中的应用问题基础初探教材整理基本不等式与最值阅读教材P99P101，完成下列问题已知a0，b0，在运用基本不等式时，要注意：(1)和ab一定时，积ab有最大值；(2)积ab一定时，和ab有最小值；(3)取等号的条件.1设x，y满足xy40，且x，y都是正数，则xy的最大值为_【解析】x，y(0，)，xy2400，当且仅当xy20时等号成立【答案】4002把总长为16 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.【解析】设一边长为x m，则另一边长为(8x)m，
2、则面积Sx(8x)216，当且仅当x8x，即x4时等号成立【答案】16质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用基本不等式求条件最值(1)已知x0，y0，且1，则xy的最小值是_(2)若x2y1，且x0，y0，则的最小值为_. 【导学号：91730069】【精彩点拨】注意条件“1”及“x2y1”的作用【自主解答】(1)1，x0，y0，xy(xy)1010216.当且仅当，即x4，y12时等号成立(2)x2y1，x0，y0，(x2y)8210218.当且仅当，即x，y时等号成立【答案】(1)16(2)18解
3、决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解再练一题1(1)已知正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_(2)已知点M(a，b)在直线xy1上，则的最小值为_【解析】(1)法一由abab3，得b.由b0，得0.a0，a1.aba(a1)5259.当且仅当a1，即a3时，取等号，此时b3.ab的取值范围是9，)法二由于a，b为正数，ab2，abab323，即()2230，3，故ab9，当且仅当ab3时，取等号ab的取值范围是9，)(2)因为点M(a，b)在直线xy1上，所以ab1，因为a2b2，当且仅当ab时等号成立，所以，所以的最小值为.【答案】(1)9
4、，)(2)利用基本不等式解实际应用题某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)【精彩点拨】根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论【自主解答】设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.每平方米的平均综合费用y56048x56048.当x取最小值时，y有最小值x0，x230，当且仅当x，即x15时，上式等号
5、成立所以当x15时，y有最小值2 000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案再练一题2某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(xN*)的函数关系式；(2
6、)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？【解】(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为20016(12x)200x(x1)16(万元)y416(2x223x50)(2)年平均利润为1616.又xN*，x210，当且仅当x5时，等号成立，此时16(2320)48.运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元探究共研型形如yx的最值问题探究可以用基本不等式求函数yx(x4)的最小值吗？为什么？【提示】x4，yx24，当且仅当x，即x2时等号成立，又x4，故不可以用基本不等式求其最小值由于yx在4，)上单调递增，故当x4时，ymin45.已知a0，求函数y的最小值【精彩点拨
7、】分“a1”和“0a1”两类分别求函数的最值【自主解答】y.(1)当01时，令t，则t，yf(t)t，利用单调性可知f(t)在，)上是增函数，yf()，当且仅当t，即x0时等号成立ymin.综上所述，当01时，ymin.1利用基本不等式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等2在等号不成立时，常借助函数的单调性求其最值再练一题3已知两正数x，y满足xy1，求z的最小值【解】由xy1知x2y22xy1，x2y212xy.从而有z(x2y2x2y21)(2x2y22xy)，令xyt，则zt2，再令f(t)t，可以证明f(t)t在上单调递减，故当t时，f(t)t取最小值，当xy时，z取最小值.1已知x
8、，y都是正数，(1)如果xy15，则xy的最小值是_；(2)如果xy15，则xy的最大值是_【解析】(1)xy22，即xy的最小值是2，当且仅当xy时取最小值(2)xy22，即xy的最大值是.当且仅当xy时，xy取最大值【答案】(1)2(2)2已知x0，则2x的最大值是_【解析】x0，x4，2x2242，当且仅当x，即x2时取等号2x的最大值为2.【答案】23已知a0，b0，ab1，则的取值范围是_. 【导学号：91730070】【解析】ab1，a0，b0，2224.当且仅当，即ab时等号成立【答案】44建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为12
9、0元和80元，那么水池的最低总造价为_元【解析】设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m.那么y1204280480320 48032021 760(元)当x2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元【答案】1 7605设x，y0，且xy4，若不等式m恒成立，求实数m的最大值【解】(xy)(54).当且仅当，且xy4，即x，y时，上式取“”故min.m恒成立，m，mmax.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1设0x，则函数yx(32x)
10、的最大值是_【解析】0x0，yx(32x)2x22，当且仅当xx，即x时，取“”，函数yx(32x)的最大值为.【答案】2若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_. 【导学号：91730071】【解析】x2y2xy1，(xy)21xy12，(xy)2，xy.【答案】3设x，y满足x4y40，且x，y(0，)，则lg xlg y的最大值是_【解析】x4y40，且x，y(0，)，4xy2(20)2400，当且仅当x4y时等号成立lg xlg ylg(xy)lg (x4y)lg 2.【答案】24已知x，则f(x)的最小值为_【解析】f(x)1.当且仅当x2，即x3时等号成立【答案】15已知
11、点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为_【解析】点P(x，y)在直线AB上，x2y3，2x4y224.【答案】46某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处【解析】设仓库距离车站为x千米，则y1，y2k2x.由题意可知，2，8k210，k120，k2，yx.x28，当且仅当x，即x5时取等号x5千米时，y取得最小值【答案】57若对任意x0，a恒成立，则a的取
12、值范围是_. 【导学号：91730072】【解析】因为x0，所以x2，当且仅当x1时取等号，所以有，即的最大值为，故a.【答案】8汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)之间有函数关系：g(v50)25(0v0，求的最小值【解】因为211，当且仅当，abc，且恒成立，则m的取值范围是_. 【导学号：91730073】【解析】由abc，知ab0，ac0，bc0，原不等式等价于m.要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可2224.当且仅当，即2bac时，等号成立m4，即m(，4【答案】(，4图3424为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图342所示，要求ACB60，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？【解】设BCa(a1)，ACb，则ABb0.5，(b0.5)2b2a22abcos 60，b0.25a2ab，整理得b.令a1t(t0)，at1，bt2222.综上，当BC1米时AC最短，为2米