1、第26讲三角形中的三角函数夯实基础【p61】【学习目标】1能熟练利用正、余弦定理将三角形的边角进行转化2掌握三角形形状的判断；三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等【基础检测】1在ABC中，若sin Asin B，则A与B的关系为()AABCAB DAB【解析】由正弦定理知，sin Asin B，ab，AB.故选B.【答案】B2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2c2a2bc.若sin Bsin Csin2A，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【解析】因为sin Bsin Csin2A，所以，也就是a2bc，所以b2c22bc，从而
2、bc，故abc，ABC为等边三角形故选C.【答案】C3在ABC中，若b1，c，C，则a_【解析】因bc，所以BC，故B为锐角由正弦定理有，故，故sin B，所以B，因此A，所以ab1.【答案】14设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则sin B_【解析】解法一：由余弦定理c2a2b22abcos C得c2142124，c2，故ABC为等腰三角形如图所示，过点A作BC的高线AE，在RtABE中，AE，sin B.解法二：由余弦定理c2a2b22abcos C得c2142124，c2.cos C，sin C.又由正弦定理得sin Bsin C.【答案】【知识要
3、点】1判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系或角的关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一等腰三角形：ab或AB.直角三角形：b2c2a2或A90.钝角三角形：a2b2c2或A90.锐角三角形：若a为最大边，则满足a2b2c2(A为最大角，则A90)2在ABC中常用的一些基本关系式ABC；sin(BC)sin A，cos(BC)cos A，tan(BC)tan A；sin cos ，cos sin ；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
4、三边ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列典 例 剖 析【p62】考点1三角形形状的判定(1)在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.若a2b2c20，则三角形ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D钝角三角形【解析】由余弦定理得cos C0，角C为钝角，即三角形ABC为钝角三角形，故选D.【答案】D(2)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状【解析】(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)
5、，sin Acos B(a2b2a2b2)cos Asin B(a2b2a2b2)，sin Acos Bb2cos Asin Ba2，sin Acos Bcos Asin B，sin Asin B(sin Bcos Bsin Acos A)0，sin 2Asin 2B，AB或2A2B180，故三角形为等腰三角形或直角三角形【小结】(1)判断三角形形状的方法：化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的
6、三角函数关系式，然后利用恒等变换得出内角的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用角的化简变形得出三边的关系考点2三角形中的求值问题在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B2sin C，a2b.(1)证明：ABC是钝角三角形；(2)若SABC，求c的值【解析】(1)因为sin Asin B2sin C，由正弦定理得ab2c，又a2b，可得bc，ac，所以cos A0，R，c是实数常数)的图象上的一个最高点是，与该最高点最近的一个最低点是.(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac，角
7、A的取值范围是区间M，当xM时，试求函数f(x)的取值范围【解析】(1)f(x)sin xcos xc，f(x)2sinc.和分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，解得f(x)2sin1.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2)在ABC中，ac，accos(B)ac，cos B，0B，B.AC，0C，即A.M.当xM时，2x，考察正弦函数ysin x的图象，可知，sin1.2f(x)1，即函数f(x)的取值范围是(2，1)【小结】三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦
8、定理解题方 法 总 结【p63】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理走 进 高 考【p63】1(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.
