1、福建省厦门市湖滨中学2020届高三数学下学期测试试题 文（含解析）1. 己知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出.【详解】由变形，得，解得或，或.又，.故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2. 已知i是虚数单位，复数m+1+（2m）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）A. （，1）B. （1，2）C. （2，+）D. （，1）（2，+）【答案】A【解析】【分析】根据复数对应的点在第二象限,可得,然后解不等式组得到m的取值范围.【详解】解:因为复数m+1+(2m)i
2、在复平面内对应的点在第二象限,所以,解得m1.所以实数m取值范围为(,1).故选:A.【点睛】本题考查了复数的几何意义和一元一次不等式组的解法,属基础题.3. 在等比数列中，、是方程的两根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理得到，再利用数列的性质计算.【详解】因为是方程的根，故且 ，由是等比数列可知，故，因为，故，故，选B.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.4. 已知命题:，命题:是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
3、【分析】利用二次函数与对数函数的单调性即可判断出命题的真假.利用幂函数即可判断出命题的真假.【详解】解：命题:，是真命题.命题:是定义域上的增函数，因此是假命题.下列命题中为真命题的是.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数与对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5. 在边长为1的正方形内随机取一点，则点到点的距离小于1的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】算出正方形的面积以及扇形的面积后可得所求的概率.【详解】点到点的距离等于1，则点轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，现点到点的距离小于1，在边长为1的正方形内表示以A为圆心，半径为1
4、的扇面，其面积为.又正方形的面积为，故所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查几何概型概率计算，注意动点的范围的正确刻画，本题属于容易题.6. 已知双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的离心率得到关系后可以得到椭圆的离心率【详解】由双曲线的离心率为可得，故，故椭圆的离心率为，故选D【点睛】圆锥曲线的离心率的计算，关键是找到的一个关系式即可，注意双曲线和椭圆中的意义不一样，关系也不一样，双曲线中实半轴长、虚半轴长和半焦距长满足，而在椭圆中长半轴长、短半轴长和半焦距长满足7. 已知向量，若，则锐角为（）A. B. C. D. 【答案】C
5、【解析】，又为锐角，选C8. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：，,故选D.考点：点线面的位置关系.9. 在中，角为，边上的高恰为边长的一半，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】作延长线上一点等腰直角三角形，设，则，由勾股定理得，由余弦定理得，故选A.10. 函数（其中，）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式.【详解】解：由图象知，则，图中的点应对应正弦曲
6、线中的点，所以，解得，故函数表达式为故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.11. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】为上的奇函数且为单调增函数，故不等式等价于，利用单调性可解不等式【详解】，当时，故，所以为上的增函数又，故为上的奇函数，因等价于，故，故，故选C【点睛】函数值的大小关系与自变量大小关系的转化，常需要利用函数的单调性和奇偶性来转化，如果函数较为复杂，应把函数函数看出一些简单函数的加、减等，再利用导数等工具判别这些简单函数的单调性等性质即可12
7、. 已知抛物线 和点D(20)，直线 与抛物线C交于不同两点A、B，直线BD与抛物线C交于另一点E.给出以下判断：直线OB与直线OE的斜率乘积为-2； 轴； 以BE为直径的圆与抛物线准线相切；其中，所有正确判断的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，可设直线的方程为，利用韦达定理判断第一个结论；将代入抛物线的方程可得，从而，进而判断第二个结论；设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点设，到准线的距离分别为，的半径为，点到准线的距离为，显然，三点不共线，进而判断第三个结论.【详解】解：由题意，可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有设点，的坐标分别为
8、，则，所则直线与直线的斜率乘积为所以正确将代入抛物线的方程可得，从而，根据抛物线的对称性可知，两点关于轴对称，所以直线轴所以正确如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点设，到准线的距离分别为，的半径为，点到准线的距离为，显然，三点不共线，则所以不正确故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题13. 已知函数在点P处的导数值为3，则P点的坐标为_【答案】【解析】【分析】利用求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】令，解得，而，所以点的坐标为.故
9、答案为：【点睛】本小题主要考查根据导数值求坐标，属于基础题.14. 已知，若，则和的夹角是_.【答案】【解析】【分析】利用得到的值，再利用得到两向量的夹角【详解】因为，故，故即，故，因，故，填【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.15. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为_.【答案】【解析】试题分析：因为 为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，所在直线方程为，化简为，故答案为.考点：1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.16. 已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表
10、面积为_.【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到，根据三棱锥体积的最大值为得到三棱锥高的最大值，再求外接球的半径和表面积即可.【详解】设的外接圆的半径为，因为，所以，.设到平面的距离为，因为三棱锥体积的最大值为，即所以.设球体的半径为，则，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，同时考查了球体的表面积公式，属于中档题.17. 已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令（）,求数列的前项和【答案】（）; （）【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，所以有，解得，所以，.（2
11、）由（1）知，所以，所以，即数列的前项和.考点：等差数列的通项公式，前项和公式裂项求和18. 网购已成为当今消费者喜欢的购物方式某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数 x（千人）与其商品销售件数 y（百件）进行统计对比，得到如下表格：由散点图知，可以用回归直线 来近似刻画它们之间的关系参考公式：（1）求 y与 x的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用说明销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到）【答案】（1）；（2）销售件数的差异有是由关注人数引起.【解析】【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）根据的公式，计算出，由此判断出销售件
12、数的差异有是由关注人数引起.【详解】(1)，.所求的回归直线方程是.(2)由（1）得ABCD.故销售件数的差异有是由关注人数引起.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查相关指数的计算，属于中档题.19. 如图， 平面， ，、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求几何体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面平面，由此可得出平面；（2）证明出平面，并计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算得出几何体的体积.【详解】（1）如下图所示，取的中点，连接、，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，平面平
13、面，平面，平面；（2）平面，平面，即，且，平面，所以，.【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，当直线过点时，以为直径的圆与直线相切（1）求抛物线的方程；（2）与平行的直线交抛物线于，两点，若平行线，之间的距离为，且的面积是面积的倍（O为坐标原点），求和的方程【答案】（1）；（2），或者，【解析】【分析】（1）设直线AB方程为，代入得，利用弦长公式求得弦长，结合以AB为直径的圆与直线x=-1相切列式求得p，则抛物线方程可求；（2）O到直线l1的距离为，写出三角形AO
14、B的面积，同理写出三角形COD的面积，结合OCD的面积是OAB面积的倍求b，则直线l1和l2的方程可求【详解】（1）设直线AB方程为，代入得，设，当时，AB中点为，依题意可知，解之得，抛物线方程为. （2）由（1）得O到直线的距离为，.平行线之间的距离为，直线CD的方程为，. 依题意可知，即，化简得，代入（1）中均成立，或者.【点睛】本题主要考查抛物线的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单
15、.要得到三角形的面积的表达式后，一般考虑应利用弦长公式结合根与系数的关系与点到直线距离公式求解.21. 已知函数（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，判断函数的单调性；（3）当且时，不等式在上恒成立，求的最大值【答案】（1）；（2）的单调递增区间是，单调递减区间是；（3）3.【解析】【分析】（1）求出及后可得切线方程（2），故，讨论上的符号可得函数的单调区间（3）在上恒成立等价于在上恒成立，令，利用导数可得函数的极小值点 且，利用可化简，从而可得整数的最大值【详解】（1）当时，函数的导函数,则切线的斜率，而，所以直线的切线方程为,即 （2）依题意可得所以.故，列表讨论如下： 单调递增极
16、大值单调递减极小值单调递增所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是 (3)当时，原不等式可化为，即对任意恒成立令，则，令，则，在上单调递增， 存在使即，当时，即；当时，即在上单调递减，在上单调递增由，得，.【点睛】（1）对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标；（2）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则（3）不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方法，利用最
17、值点（极值点）满足的等式化简函数的最值可以相应的最值范围22. 直角坐标系中，半圆的参数方程为 (为参数， ),以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是 ，射线与半圆的交点为，与直线的交点为，求线段 的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由圆的参数方程消去参数，得到圆的普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出圆的极坐标方程；（2）由题意，先设两点的极坐标为，将代入直线的极坐标方程，得到；将代入圆的极坐标方程，得到，再由，即可得出结果.【详解】(1)半圆的普通方程为 ,又 ,所以半圆的极坐标方程是 .(2)设 为点的极坐标，则有 ，解得；设 为点的极坐标，则有，解得由于 ，所以 ,所以线段 的长为.【点睛】本题主要考查圆的参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标下的两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型.
