1、第3章空间向量与立体几何3.2.3 空间的角的计算学习目标1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.栏目索引CONTENTS PAGE 1 预习导学挑战自我，点点落实2 课堂讲义重点难点，个个击破3 当堂检测当堂训练，体验成功43.2.3 空间的角的计算预习导学挑战自我，点点落实知识链接1.怎样求两条异面直线所成的角？答：(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解.(2)向量法：设a、b分别为异面直线l1、l2上的方向向量，为异面直线所成的角，则异面直线所成角公式cos|cosa，b|
2、.53.2.3 空间的角的计算2.如何用平面的法向量表示二面角？答：设n1、n2是二面角-l-的两个面，的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.63.2.3 空间的角的计算预习导引1.两条异面直线所成的角(1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.(2)范围：两条异面直线所成角的取值范围是0.(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则a，b所成角的余弦值为cos|cos|.73.2.3 空间的角的计算2.直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面
3、内的射影所成的角.(2)范围：直线和平面所成角的取值范围是0.(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin|cos|或cos sin.83.2.3 空间的角的计算3.二面角(1)二面角的取值范围：0，.(2)二面角的向量求法：若AB，CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角的大小就是向量与的夹角.93.2.3 空间的角的计算设n1、n2是二面角-l-的两个面，的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.103.2.3 空间的角的计算课堂讲义重点难点，个个击
4、破要点一 求两条异面直线所成的角例1如图所示，三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，113.2.3 空间的角的计算123.2.3 空间的角的计算规律方法建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围.133.2.3 空间的角的计算跟踪演练1正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解 不妨设正方体棱长为2，
5、分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1，0,2)、F(1,1,2)，143.2.3 空间的角的计算153.2.3 空间的角的计算要点二 求直线和平面所成的角例2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值.解 建立如图所示的空间直角坐标系，163.2.3 空间的角的计算设平面AMC1的法向量为n(x，y，z).173.2.3 空间的角的计算设BC1与平面AMC1所成的角为，183.2.3 空间的角的计算规律方法借助于向量求线面角关键在于确定直
6、线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系.193.2.3 空间的角的计算跟踪演练2如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值.解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).203.2.3 空间的角的计算设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，213.2.3 空间的角的计算要点三 求二面角例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角A1BDC1的余弦值.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
7、取BD的中点E，连结A1E，C1E.223.2.3 空间的角的计算因为DBA1和BDC1都是正三角形，所以A1EBD，C1EBD，233.2.3 空间的角的计算243.2.3 空间的角的计算规律方法(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.253.2.3 空间的角的计算(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的
8、补角.263.2.3 空间的角的计算跟踪演练3如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A-A1D-B的余弦值.解 如图所示，取BC中点O，连结AO.因为ABC是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.273.2.3 空间的角的计算283.2.3 空间的角的计算293.2.3 空间的角的计算又BDBA1B，所以AB1平面A1BD，303.2.3 空间的角的计算当堂检测当堂训练，体验成功1 2 3 41.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量，法向量，若cosm，n，则l与所成
9、的角为_.解析 设l与所成的角为，则sin|cosm，n|.30.30313.2.3 空间的角的计算1 2 3 42.正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为_.解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，323.2.3 空间的角的计算1 2 3 4AC1平面A1BD.333.2.3 空间的角的计算1 2 3 4343.2.3 空间的角的计算1 2 3 4解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0,0,1)，353.2.3 空间的角的计算1 2 3 4即AB
10、1与C1B所成角的大小为90.答案 90363.2.3 空间的角的计算1 2 3 44.如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当 时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值.解 由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).373.2.3 空间的角的计算1 2 3 4383.2.3 空间的角的计算课堂小结利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.
