1、第2章圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程学习目标1.运用抛物线的定义推导标准方程.2.掌握抛物线的标准方程.3.会求抛物线的标准方程.栏目索引CONTENTS PAGE 1 预习导学挑战自我，点点落实2 课堂讲义重点难点，个个击破3 当堂检测当堂训练，体验成功42.4.1 抛物线的标准方程预习导学挑战自我，点点落实知识链接1.抛物线定义中的定点F若在定直线l上，动点轨迹还是抛物线吗？答：不是.是过定点F且与l垂直的直线.52.4.1 抛物线的标准方程62.4.1 抛物线的标准方程预习导引1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的式的点的轨迹叫做抛物线
2、.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.距离相等焦点准线72.4.1 抛物线的标准方程2.抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)y22px(p0)82.4.1 抛物线的标准方程x22py(p0)x22py(p0)92.4.1 抛物线的标准方程课堂讲义重点难点，个个击破要点一 求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(2,0)；p4，抛物线标准方程为y28x.102.4.1 抛物线的标准方程(2)准线为y1；p2，抛物线标准方程为x24y.112.4.1 抛物线的标准方程(3)过点A(2,3)；解由题意，抛物线方程可设为y2mx(m
3、0)或x2ny(n0)，将点A(2,3)代入，得32m2或22n3，122.4.1 抛物线的标准方程所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y.132.4.1 抛物线的标准方程规律方法求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).142.4.1 抛物线的标准方程跟踪演练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，4)；解 方法一 点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px
4、(p0)或x22p1y(p10).把点(3，4)分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，152.4.1 抛物线的标准方程方法二 点(3，4)在第四象限，抛物线的方程可设为y2ax(a0)或x2by(b0).162.4.1 抛物线的标准方程(2)焦点在直线x3y150上.解 令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260 x.172.4.1 抛物线的标准方程要点二 抛物线定义的应用例2如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求此时P点坐标.解
5、 如图，作PQl于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，182.4.1 抛物线的标准方程由图可知，求PAPF的最小值的问题可转化为求PAd的最小值的问题.192.4.1 抛物线的标准方程此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点P坐标为(2,2).202.4.1 抛物线的标准方程规律方法抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等.212.4.1 抛物线的标准方程跟踪演练2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P
6、到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_.解析 如图，由抛物线定义知PAPQPAPF，则所求距离之和的最小值转化为求PAPF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PAPF取得最小值.222.4.1 抛物线的标准方程232.4.1 抛物线的标准方程要点三 抛物线的实际应用例3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，242.4.1 抛物线的标准方程因为点C(5，5)在抛物线上，所以25
7、2p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以管柱OA的长为1.8 m.252.4.1 抛物线的标准方程规律方法在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.262.4.1 抛物线的标准方程跟踪演练3某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角
8、坐标系.(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)，272.4.1 抛物线的标准方程由题意知A(4，5)在抛物线上，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B时，木船开始不能通航.设B(2，y)，282.4.1 抛物线的标准方程故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.292.4.1 抛物线的标准方程当堂检测当堂训练，体验成功1 2 3 41.已知抛物线的准线方程为x7，则抛物线的标准方程为_.解析 抛物线开口向右，方程为y22px(p0)的形式，y228x302.4.1 抛物线的标准方程1 2 3 4即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y28x或y28x.
9、y28x312.4.1 抛物线的标准方程1 2 3 43.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_.解析 如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为P、F间的距离，由图可知，322.4.1 抛物线的标准方程1 2 3 4距离和的最小值，即F到直线l1的距离答案 2332.4.1 抛物线的标准方程1 2 3 44.抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_.由于点M到焦点距离为1，所以M到准线距离也为1，342.4.1 抛物线的标准方程课堂小结1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0).
