1、训练 23 几何证明选讲A 组(供高考题型为选择、填空题的省份使用)1如图，BD，AEBC，ACD90，且 AB6，AC4，AD12，则BE_.2如图，A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC4，ADBC，垂足为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为_3如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，CBAB，ABADa，CDa2，点E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF_.4(2012中山调研)如图，已知 PA，PB 是圆 O 的切线，A，B 分别为切点，C 为圆 O 上不与 A，B 重合的另一点，若ACB120，则APB_.5(2012长沙模拟)如图，点 P 在圆 O
2、 直径 AB 的延长线上，且 PBOB2，PC切圆 O 于 C 点，CDAB 于 D 点，则 CD_.6(2012湖南六校联考)如图，点 A、B、C 都在O 上，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，若 AB5，BC3，CD6，则线段 AC 的长为_7(2012海淀二模)如图，已知O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D.若 AD3，BD2，且 D 为 OC 的中点，则 CD_.8(2012武汉调研)如图，O 的割线 PBA 过圆心 O，弦 CD 交 PA 于点 F，且COFPDF，若 PBOA2，则 PF_.第 8 题图 第 9 题图 9如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延
3、长 AB 和 DC 相交于点 P.若PBPA12，PCPD13，则BCAD的值为_10(2011广东)如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，CD2，E，F 分别为 AD，BC 上点，且 EF3，EFAB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为_11(2010陕西)如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm，4 cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则 BD_cm.12(2012广东)如图所示，直线 PB 与圆 O 相切于点 B，D 是弦 AC 上的点，PBADBA.若 ADm，ACn，则 AB_.13(2012天津)如图，已知 AB 和 A
4、C 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF3，FB1，EF32，则线段 CD 的长为_14(2011天津)如图所示，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点，且 DFCF 2，AFFBBE421.若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为_ 第 14 题图 第 15 题图15(2012湖北)如图，点 D 在O 的弦 AB 上移动，AB4，连接 OD，过点 D作 OD 的垂线交O 于点 C，则 CD 的最大值为_B 组(供高考题型为解答题的省份使用)1如图，ABC 的
5、角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.(1)证明：ABEADC；(2)若ABC 的面积 S12ADAE，求BAC 的大小2.(2011辽宁)如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EFEG，证明：A，B，G，F 四点共圆3如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM，垂足为 P.(1)证明：OMOPOA2；(2)N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点过 B 点的切线交直
6、线 ON 于 K.证明：OKM90.4如图，已知在ABC 中，ABAC，D 是ABC 外接圆劣弧上的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD 至 E.(1)求证：AD 的延长线平分CDE；(2)若BAC30，ABC 中 BC 边上的高为 2 3，求ABC 外接圆的面积5如图，梯形 ABCD 内接于O，ADBC，过点 C 作O 的切线，交 BD 的延长线于点 P，交 AD 的延长线于点 E.(1)求证：AB2DEBC；(2)若 BD9，AB6，BC9，求切线 PC 的长6如图所示，已知O1 和O2 相交于 A，B 两点，过 A 点作O1 的切线交O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交O1，
7、O2 于点 D，E，DE 与 AC相交于点 P.(1)求证：ADEC；(2)若 AD 是O2 的切线，且 PA6，PC2，BD9，求 AD 的长参考答案 训练 23 几何证明选讲A 组1解析 AC4，AD12，ACD90，CD2AD2AC2128，CD8 2.又AEBC，BD，ABEADC，ABADBECD，BEABCDAD68 2124 2.答案 4 22解析 如图，连接 CE，AO，AB.根据 A，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB 为等边三角形，AD 3，ODBD1，DF 33，AFADDF2 33.答案 2 333解析 连结 D
8、E，由于 E 是 AB 的中点，故 BEa2.又 CDa2，ABDC，CBAB，四边形 EBCD 是矩形在 RtADE 中，ADa，F 是 AD 的中点，故 EFa2.答案 a24解析 如图，连接 OA，OB，PAOPBO90，ACB120，AOB120.又 P，A，O，B 四点共圆，故APB60.答案 605解析 由切割线定理知，PC2PAPB，解得 PC2 3.又 OCPC，故 CDPCOCPO2 324 3.答案 36解析 由切割线定理，得 CD2BDAD.因为 CD6，AB5，则 36BD(BD5)，即 BD25BD360，即(BD9)(BD4)0，所以 BD4.因为ABCD，所以AD
9、CCDB，于是ACCBCDBD.所以 ACCDBDBC64392.答案 927解析 延长 CO 交圆 O 于点 M，由题意知 DCr2，DM32r.由相交弦定理知ADDBDCDM，即34r26，r2 2，DC 2.答案 28解析 由相交弦定理可得BFAFDFCF，由COFPDF 可得CFPFOFDF，即得 DFCFPFOF.BFAFPFOF，即(PF2)(6PF)PF(4PF)，解得 PF3.答案 39解析 PP，PCBPAD，PCBPAD.PBPDPCPABCAD.PBPA12，PCPD13，BCAD 66.答案 6610解析 在梯形 ABCD 中，过 C 作 CGAD 交 AB 于 G，E
10、F 于 H.则 HF1，GB2.又 EFAB，即 HFGB，HFGBCFCB12.F 应为 CB 的中点EF 为梯形 ABCD 的中位线设梯形 EFCD 的高为 h，则梯形 ABCD 的高为 2h.S 梯形 ABCDABCD2h2422h26h，S 梯形 EFCDCDEFh223h25h2.所以 S 梯形 ABCDS 梯形 EFCD125125，S 梯形 ABFES 梯形 EFCD75.答案 7511解析 如图，连接 DC，则 CDAB，RtADCRtACB.故ADACACAB，即AD3 35，AD95(cm)，BD595165(cm)答案 16512解析 直线 PB 与圆相切于点 B，且PB
11、ADBA，ACBABPDBA，由此可得直线 AB 是BCD 外接圆的切线且 B是切点，则由切割线定理得|AB|2|AD|AC|mn，即得|AB|mn.答案 mn13解析 由相交弦定理得 AFFBEFFC，FCAFFBEF 2.由AFCABD，可知FCBDAFAB，BDFCABAF83.由切割线定理得 DB2DCDA，又 DA4CD，4DC2DB2649，DC43.答案 4314解析 设 AF4k，BF2k，BEk，由 DFFCAFBF，得 28k2，即 k12.所以 AF2，BF1，BE12，AE72.由切割线定理，得 CE2BEEA127274，所以 CE 72.答案 7215解析 当 OD
12、 的值最小时，DC 最大，易知 D 为 AB 的中点时，DBDC2最大答案 2B 组1(1)证明 由已知条件，可得BAECAD.因为AEB 与ACB 是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)解 因为ABEADC，所以ABAEADAC，即 ABACADAE.又 S12ABACsinBAC，且 S12ADAE，故 ABACsinBACADAE.则 sinBAC1，又BAC 为三角形内角，所以BAC90.2证明(1)因为 ECED，所以EDCECD.因为 A，B，C，D 四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA.所以 CDAB.(2)由(1)知 AEBE.因为 EFEG，故
13、EFDEGC，从而FEDGEC.连接 AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又 CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180.故 A，B，G，F 四点共圆3证明(1)因为 MA 是圆 O 的切线，所以 OAAM.又因为 APOM，在 RtOAM 中，由射影定理知，OA2OMOP.(2)因为 BK 是圆 O 的切线，BNOK，同(1)，有 OB2ONOK，又 OBOA，所以 OPOMONOK，即ONOPOMOK.又NOPMOK，所以ONPOMK，故OKMOPN90.4(1)证明 如图，设 F 为 AD 延长线上一点A、B、C、D 四点共圆，CDFABC.又 ABAC，A
14、BCACB，且ADBACB，ADBCDF.对顶角EDFADB，故EDFCDF，即 AD 的延长线平分CDE.(2)解 设 O 为外接圆圆心，连结 AO 交 BC 于 H，则 AHBC.连结 OC，由题意OACOCA15，ACB75，OCH60.设圆半径为 r，则 r 32 r2 3，得 r2，外接圆面积为 4.5(1)证明 ADBC，.ABCD，EDCBCD.又 PC 与O 相切，ECDDBC.CDEBCD.DCBCDEDC.CD2DEBC，即 AB2DEBC.(2)解 由(1)知，DEAB2BC629 4，ADBC，PDEPBC，PDPBDEBC49.又PBPD9，PD365，PB815.PC2PDPB365 815 54252.PC545.6(1)证明 连接 AB，如图所示AC 是O1 的切线，BACD.又BACE，DE.ADEC.(2)解 设 BPx，PEy，PA6，PC2，xy12.根据(1)，可得ADPCEP，DPEPAPCP，即9xy 62，由，可得x3，y4或x12，y1(负值舍去)，DE9xy16.AD 是O2 的切线，AD2DBDE916.AD 高考资源网%
