1、老人教文科专题五：立体几何一、选择题 1.设地球半径为，若甲地位于北纬45度东经120度，乙地位于南纬75度东经120度，则甲乙两地的球面距离为（ ） 2.一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3：2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为（ ） 1:1 3:23. 已知两条不同的直线、，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是（ ）A 若，则若，则. 若，则. 若，则4. 圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（ ）5. 某个数学活动小组为了测量学校操场上国旗旗杆DC的高度，在旗杆的正西方向的点A测得旗杆顶端D的仰角为30度，沿点A向
2、北偏东60度前进18米到达点B，测得旗杆顶端D的仰角为45度，经目测AB小于AC,则旗杆的高度为（ ）米.9 .16 .18 .9或18 6.下列说法不正确的是（ ）空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形同一平面的两条垂线一定共面过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直7.等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30，则四棱锥AMNCB的体积为 （ ）、 、 、 、38由棱长为2的正方体的表面的六个中心为顶点构成的新几何体的体积为（
3、 ）.2 .4 . .9.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则,其中真命题个数是 （ ）1 2 3 410.矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E、F分别为AB、CD的中点，沿EF把BCFE折起后与ADFE垂直，P为矩形ADFE内一动点，P到面BCFE的距离与它到点A的距离相等，设动点P的轨迹是曲线L，则曲线L是（ ）的一部分A. 圆 .椭圆 .抛物线 .双曲线二、填空题11.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为，从长方体的一条体对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是 . 12.用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大
4、的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，则它的最高点到桌面的距离为 .13. 在一个棱长为6厘米的密封的正方体盒子中，放一个半径为1厘米的小球，任意摇动盒子，小球在盒子中不能到达的空间为G,则这个正方体盒子中的一点属于G的概率为 . 14. 直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AB是BD与BC的等比中项.请利用类比推理给出：三棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，点P在底面上的射影为O，则 .三、解答题15. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD， PCAD.底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC.PA=AB=BC,点E在棱PB上，且PE=2EB. (1)求
5、证：平面PAB平面PCB； (2)求证：PD平面EAC.16.在ABC中，AB=CA=6，BC=8，点D、E、F分别是BC、AB、CA的中点，以三条中位线为折痕，折成一个三棱锥P-DEF，求：(1)异面直线PD与EF间的距离； (2)这个三棱锥P-DEF的体积.17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=AD=1,点E,F,G分别是棱AA1、C1D1、BC的中点.(1)在直线A1D1上是否存在点Q，使得EQ平行于平面FB1G；(2)求二面角B1-EF-G的大小；(3)求四面体EFGB1的体积.18.如图在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点. (1)求证：AB1平面
6、BDC1；(2)设AB1垂直于BC1，BC=2,求这个三棱柱的表面积.19.如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，ADC=60，AF=a(a0). (1)求证：ACBF； (2)若二面角F-BD-A的大小为60，求a的值.20.如图，AB为圆O的直径，点E,F在圆上，已知ABEF，AB=BC=4,AE=EF=BF=2，AD=2，直角梯形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直. (1)求证：平面CBE平面DAE； (2)在DB上是否存在一点G，使GF平面DAE? 若不存在，请说明理由；若存在，请找出这一点，并证明.答案解析（专题五）1.解析：选D.连接
7、甲乙两地的大圆上的劣弧的球心角为45+75=120度，由弧长公式得甲乙两地的球面距离为，故选D.2.解析：选设圆柱的底面半径为，球的半径为，由于圆柱的轴截面为正方形，因此圆柱的母线长为，所以,即,故选.3. 解析：选.因为两个平面垂直，所以这两个平面的法向量就垂直，所以对，在B中有m与n不垂直的情况，在C中，还有m与n相交，异面的情况，在D中，还有m与n相交，异面的情况，故选4. 解析：选B.设截面等腰三角形的顶角为，则截面面积为，因为，所以，故选B.5.解析：选C.设,则，,所以在中，应用余弦定理得，解这个方程得，当时，,与已知矛盾，故舍去. 时，,成立，所以选C6.解析：选D .一组对边平
8、行且相等的四边形就决定了这个四边形是平行四边形；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面;这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就可明确看出D不正确.7.解析：选 .在平面图中，过作ALBC，交MN于K，交BC于L.则AKMN，KLMN. AKL是面AMN与面MNCB所成的二面角的平面角，即有AKL30. 由条件知，则四棱锥AMNCB的高h. .故选 A.8.解析：选D构成的新几何体是两个有公共底面的正四棱锥，它的底面边长为，高为1，所以一个正四棱锥的体积为，故选D.9.解析：选B.也有相交的情况；要保证相交，才有；由面面平行性质定理可知对；因，同样，从而，故对故选B10.
9、 解析：选C.如图，过点P作PQ垂直于FE，则PQ垂直于平面BCFE，所以PQ=PA，所以动点P的轨迹即曲线L为以A为焦点，以FE为准线的抛物线在矩形ADFE内的部分,故选C.11. 解析：从长方体的一条体对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有三种方案： 或，故最短路径是.答案：12. 解析：要抓住两点：（1）半圆纸片的半径成了圆锥的母线，（2）半圆弧长成了圆锥的底面周长.设圆锥的底面半径为，母线为，则，所以轴截面顶角的一半为，轴截面为正三角形，故被吹倒后圆锥的最高点离桌面的距离为厘米.答案：厘米.13.解析：在正方体盒子中，不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不能到
10、达的空间，其体积为.小球沿每条棱运动不能到达的空间（除去两端的两个角）的体积，即为高为4的一个正四棱柱的体积减去其内接圆柱体积的四分之一（如图二），即，正方体有12条棱，所以在盒子中小球不能到达的空间G的体积为，又正方体盒子的体积为63=216，所以这个正方体盒子中的一点属于G的概率为.答案：.14.证明：连接CO，并延长交AB于D，连接PD，则PDPC,CDAB,所以PD2=DODC,所以.即三角形PAB的面积是三角形AOB的面积与三角形ABC的面积的等比中项.答案：三角形PAB的面积是三角形AOB的面积与三角形ABC的面积的等比中项.15.解析：(1)PA平面ABCD，PABC.又ABBC
11、，PAAB=A, BC平面PAB. 又BC平面PCB，所以平面PAB平面PCB.(2)PA底面ABCD，PAAD,又PCAD，AD平面PAC，ACAD. 在梯形ABCD中，由ABBC，AB=BC，得BAC=45，DCA=BAC=45，又ACAD，故DAC为等腰直角三角形，DC=AC=（AB）=2AB.连接BD，交AC于点M，则.连接EM，在BPD中，,PDEM,又EM在平面AEC内，PD平面EAC.16.解析:(1)取EF的中点N，PD的中点M，连接DN、MN、PN，因为DF=DE,PF=PE，所以PNEF，DNEF，PN=DN=，所以EF平面PDN，EFMN，PDMN，所以MN是异面直线PD
12、与EF间的距离，在直角三角形PMN中，MN=1,所以异面直线PD与EF间的距离为1.(2)由前面知EF平面PDN，PDN的面积为，所以这个三棱锥P-DEF的体积.17.解析：(1)如图取AD中点M,连接A1M，则A1MB1G, 延长QE交AD于N，所以EQ平行于平面FB1G的充要条件是A1MEQ，因为E为AA1的中点，所以N为AM的中点，所以4A1Q=AD,所以在线段D1A1延长线上存在点Q，使得EQ平行于平面FB1G；(2)四面体EFB1G的六条棱长分别为,所以,所以GFB1就是二面角B1-EF-G的平面角.,所以二面角B1-EF-G的大小为45度.(3)由前面可知平面，,所以.18.解析：
13、(1)连接BC1和B1C，交点为O,则O为B1C的中点，连接OD,因为D为中点，所以ODAB1,又OD在平面DBC1内，AB1不在平面DBC1内，所以AB1平面BDC1.(2)过A作AFBC,垂足为F,连接B1F，因为侧面垂直于底面，所以AF侧面BCC1B1，所以AB1在侧面BCC1B1的射影为B1F，因为AB1垂直于BC1，所以BC1B1F，RtB1BFRtBC1C,B1B:BC=BF:C1C,所以B1B2=BCBF=2，所以侧棱,所以全面积为.19. 解析：(1)如图，在ABC中，AB=1，BC=2，ABC=60，由余弦定理得=，,BAC=90，即ACAB. 又在矩形ACEF中，ACAF，
14、且AFAB=A, AC平面ABF，又BF平面ABF，ACBF.(2)平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCD=AC,FAAC，FA平面ABCD，过点A作AGBD于点G，连接FG,则FGBD.AGF即是二面角F-BD-A的平面角，AGF=60. 在ABD中，由余弦定理得.由在RtAGF中，AGF=60，AF=AGtanAGF= 20. (1)如图，连接BE，因为四边形ABCD是直角梯形，所以ADAB，又平面ABCD平面ABFE，所以AD平面ABFE,所以ADBE.因为AB为圆O的直径，所以AEBE，又AEAD=A所以BE平面DAE. 又BE平面CBE，所以平面CBE平面DAE. (2)存在，点G是BD的中点.证明：连接OG，OF,GF,则OGAD,又因为OG平面DAE,所以OG平面DAE,因为ABEF，AO=AB=2,EF=2,所以四边形AOFE是平行四边形，所以OFAE,又OF平面DAE，所以OF平面DAE，又OGOF=O,所以平面OGF平面DAE,所以GF平面DAE.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
