1、2.3数学归纳法一、基础过关1某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得nk1时，该命题也成立现在已知当n5时，该命题成立，那么可推导出()A当n6时命题不成立B当n6时命题成立C当n4时命题不成立D当n4时命题成立2一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步验证n等于 ()A1 B2 C3 D04若f(n)1(nN*)，则n1时f(n)是 ()A1
2、 B.C1 D以上答案均不正确5已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)6在数列an中，a12，an1(nN*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为()A. B.C. D.二、能力提升7用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从k到k1左端需要增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.8已知f(n)(nN*)，则f(k1)f(k)_.9用数学归纳法证明：(1)(1)(1)(1)(n
3、N*)10用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)11已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn为数列an的前n项和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式三、探究与拓展12是否存在常数a、b、c，使得等式122232342n(n1)2(an2bnc)对一切正整数成立？并证明你的结论答案1B 2B3C4C 5D6B7B8.9证明(1)当n1时，左边1，右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即(1)(1)(1)(1)，那么当nk1时，(1)(1)(1)(1)(1)(1)，所以当nk1时
4、等式也成立由(1)(2)可知，对于任意nN*等式都成立10证明(1)当n1时，左边1，右边(1)111，结论成立(2)假设当nk时，结论成立即12223242(1)k1k2(1)k1，那么当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.即当nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数n等式都成立11(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an.(2)证明当n2时，a252225，公式成立假设nk(k2，kN*)时成立，即ak52k2，那么当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska
5、1a2a3ak551052k2.552k1.故当nk1时公式也成立由可知，对n2，nN*，有an52n2.所以数列an的通项公式为an.12解假设存在a、b、c使上式对nN*均成立，则当n1,2,3时上式显然也成立，此时可得解此方程组可得a3，b11，c10，下面用数学归纳法证明等式122232342n(n1)2(3n211n10)对一切正整数均成立(1)当n1时，命题显然成立(2)假设当nk时，命题成立即122232342k(k1)2(3k211k10)，则当nk1时，有122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10即当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何正整数n，等式都成立
