1、增分加练(4)三角函数与三角形中的最值问题一、选择题1函数f(x)sin在区间上的最小值为(B)A1BC.D0解析：由已知x，得2x，所以sin，1，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.故选B.2函数ycos2x2sinx的最大值与最小值分别为(D)A3，1 B3，2C2，1 D2，2解析：ycos2x2sinx1sin2x2sinxsin2x2sinx1，令tsinx，则t1,1，yt22t1(t1)22，所以ymax2，ymin2.3(2019湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b例如1*21,则函数f(x) sinx * cosx的值域为(D)A. B1,1C. D.解析：根据三角函数的
2、周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可设x0,2，当x时，sinxcosx，f(x)cosx，f(x)，当0x或sinx，f(x)sinx，f(x)1,0综上知f(x)的值域为.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2b22c2，则角C的取值范围是(A)A. B.C. D.解析：a2b22c22ab(当且仅当ab时等号成立)，c2ab，由余弦定理可得cosC，C(0，)，C.5(2019江西赣州联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosAbcosCccosB，且bc4，则a的最小值为(A)A2 B2C3 D2解析：由正弦定理及题意可得2
3、sinAcosAsinBcosCsinCcosB.又知在ABC内，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，2sinAcosAsinA，sinA0，cosA.又A(0，)，A.a2b2c22bccosA(bc)23bc163bc，b，c均为正数，bc2，bc4，当且仅当bc时取“”a2163bc16124，又a0，a2.a的最小值为2，故选A.6在ABC中，若AB2，AC2BC28，则ABC面积的最大值为(C)A. B2C. D3解析：AC2BC22ACBC，ACBC4.cosC，cosC，00)在区间0,1上至少出现50次最大值，则的最小值为.解析：函数ysinx(0)的周期T
4、，设xn表示函数在区间0,1上从左至右第n个最大值点，则xn是首项为x1，公差为T的等差数列，所以x5049T，依题意x5049T1，得197T4，即1974，解得，故的最小值为.9(2019南昌摸底调研)已知ABC的面积为2，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A，则a的最小值为2.解析：SABCbcsinA2bcsinbc，所以bc8.cosA(当且仅当bc时取等号)，即，所以a28，所以a2，所以a的最小值为2.10(2019武汉市调研测试)当函数f(x)3sinx6cosx取得最大值时，sinx的值为.解析：f(x)3sinx6cosx3sin(x)，其中sin，cos，当x2k，k
5、Z，即x2k，kZ时，f(x)取得最大值3，此时sinxsin(2k)sin()cos.11(2019河北石家庄一检)若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于对称，则函数f(x)在上的最小值是.解析：f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，则由题意知f2sin0，又0，所以，所以f(x)2sin2x，f(x)在上是减函数，所以函数f(x)在上的最小值为f2sin.三、解答题12(2019北京怀柔区模拟)已知函数f(x)(sinxcosx)2cos2x1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)(sinxcosx)2
6、cos2x12sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin，函数f(x)的最小正周期T.(2)由(1)可知，f(x)sin.x，2x，sin.故函数f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.13(2018北京卷)已知函数f(x)sin2xsinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间，m上的最大值为，求m的最小值解：(1)f(x)cos2xsin2xsin(2x).所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知f(x)sin(2x).由题意知xm.所以2x2m.要使得f(x)在，m上的最大值为，即sin(2x)在，m上的最大值为1.所以2m，即m.所以m的最小值为.14已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求b的值；(2)若cosBsinB2，求ac的取值范围解：(1)在ABC中，解得b.(2)cosBsinB2，cosB2sinB，sin2Bcos2Bsin2B(2sinB)24sin2B4sinB41，4sin2B4sinB30，解得sinB，从而求得cosB，B.由正弦定理得1，asinA，csinC.由ABC得AC，CA，且0A.acsinAsinCsinAsinAsinAsincosAcossinAsinAcosAsinA.0A，A，sin1，sin，ac的取值范围是.