1、阶段质量检测（三） 导数及其应用(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若f(x)sin cos x，则f(x)等于()Asin xBcos xCcos sin x D2sin cos x解析：选A函数是关于x的函数，因此sin 是一个常数2曲线yf(x)x33x21在点(2，3)处的切线方程为()Ay3x3 By3x1Cy3 Dx2解析：选C因为yf(x)3x26x，则曲线yx33x21在点(2，3)处的切线的斜率kf(2)322620，所以切线方程为y3.3函数f(x)的定义域为开区间(a，
2、b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A1个B2个C3个 D4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且ax1x2x3b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点4函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A. B.C. ，D.，解析：选Af(x)2x，当0x时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为.5函数f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A1 B. C0 D1解析：选Af(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(
3、0)0，f(1)1，f1，f(x)在0,1上的最大值为1.6函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3处取得极值，则a()A2 B3 C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，f(3)0.3(3)22a(3)30，a5.7已知物体的运动方程是S(t)t2(t的单位：s，S的单位：m)，则物体在时刻t2时的速度v与加速度a分别为()A. m/s， m/s2 B. m/s， m/s2C. m/s， m/s2 D. m/s， m/s2解析：选AS(t)2t，vS(2)22 (m/s)令g(t)S(t)2t，g(t)22t3，ag(2) (m/s2)8.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb
4、)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.9定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1解析：选B令g(x)2f(x)x1，f(x)，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)2130，f(2)f(1)f(3)，即cab.答案：ca0)(1)若a1，求函数f(x)的单调
5、区间；(2)若以函数yf(x)(x(0,3)图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值解：(1)当a1时，f(x)ln x，定义域为(0，)，f(x)，当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)由(1)知f(x)(0x3)，则kf(x0)(0x03)恒成立，即amax.当x01时，xx0取得最大值，所以a，所以a的最小值为.19(本小题满分12分)已知某厂生产x件产品的成本C25 000200xx2 (单位：元)(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产
6、多少产品？解：(1)设平均成本为y元，则y200，y，令y0，得x1 000或x1 000(舍去)当在x1 000附近左侧时y0，当在x1 000附近右侧时y0，故当x1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)利润函数L500x300x25 000.L300，令L0，解得x6 000.当在x6 000附近左侧时L0，当在x6 000附近右侧时L0，故当x6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值因此，要使利润最大，应生产6
7、000件产品20(本小题满分12分)设函数f(x)exx2x.(1)若k0，求f(x)的最小值；(2)若k1，讨论函数f(x)的单调性解：(1)k0时，f(x)exx，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)1.(2)若k1，则f(x)exx2x，定义域为R.f(x)exx1，令g(x)exx1，则g(x)ex1，由g(x)0得x0，g(x)在0，)上单调递增，由g(x)0得x0，g(x)在(，0)上单调递减，g(x)ming(0)0，即f(x)min0，故f(x)0.f(x)在R上单调递增21(本小题满分12
8、分)已知函数f(x)x2aln x(xR)(1)求f(x)的单调区间；(2)当x1时，x2ln xx3是否恒成立，并说明理由解：(1)f(x)的定义域为(0，)，由题意得f(x)x(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0.当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(2)当x1时，x2ln xx3恒成立，理由如下：设g(x)x3x2ln x(x1)，则g(x)2x2x0，g(x)在(1，)上是增函数，g(x)g(1)0.即x3x2ln x0，x2ln xx3，故当x1时，x2ln
9、 xx3恒成立22(本小题满分12分)若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数的解析式；(2)若方程f(x)k有3个不同的根，求实数k的取值范围解：(1)f(x)3ax2b.由题意知即解得所以f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数f(x)x34x4的图象大致如图所示若f(x)k有3个不同的根，则直线yk与函数f(x)的图象有3个交点，所以k.所以实数k的取值范围为.