1、2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.(重点)2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点)基础初探教材整理1离散型随机变量的数学期望阅读教材P59P60，完成下列问题.1.定义一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn，则E(X)x1p1x2p2xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).2.意义刻画了离散型随机变量的平均取值水平.1.下列说法正确的有_
2、(填序号).随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；随机变量的均值反映样本的平均水平；若随机变量X的数学期望E(X)2，则E(2X)4；随机变量X的均值E(X).【解析】错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征.错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.正确，由均值的性质可知.错误，因为E(X)x1p1x2p2xnpn.【答案】2.已知离散型随机变量X的分布列为：X123P则X的数学期望E(X)_.【解析】E(X)123.【答案】3.设E(X)10，则E(3X5)_. 【导学号：62980052】【解析】E(3X5)3E(X)5310
3、535.【答案】35教材整理2常见几种分布的数学期望阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题.名称二点分布二项分布超几何分布公式E(X)pE(X)npE(X)1.若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为_.【解析】E(X)np4.【答案】2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是_.【解析】因为P(X1)0.8，P(X0)0.2，所以E(X)10.800.20.8.【答案】0.8质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型二点分布与二项分布的数
4、学期望某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望.【精彩点拨】(1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解.【自主解答】(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即YB(5,0.6)，则E(Y)np50.63.1.常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)二点分布E(X)p；(2)二项分布E(X)np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.2.二点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么
5、发生要么不发生.(2)不同点：随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x0,1,2，n.试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.再练一题1.(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400(2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于()X01Pm2mA.B.C.D.【解析】(1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即XB(1 000,0.1
6、)，所以不发芽种子的数学期望为1 0000.1100.所以补种的种子数的数学期望为2100200.(2)由题意可知m2m1，所以m，所以E(X)01.【答案】(1)B(2)D求离散型随机变量的数学期望在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值.【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值.【自主解
7、答】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)1P()11.(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).从而知的分布列为01234P所以E()01234.求离散型随机变量的数学期望的步骤1.根据的实际意义，写出的全部取值.2.求出的每个值的概率.3.写出的分布列.4.利用定义求出数学期望.其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识.再练一题2.盒中装有5节同牌号的五号
8、电池，其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望.【解】X可取的值为1,2,3，则P(X1)，P(X2)，P(X3)1.抽取次数X的分布列为X123PE(X)123.探究共研型离散型随机变量的均值实际应用探究1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X0)0.3，P(X1)0.7.探究2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为0.
9、8.探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为00.310.70.7(分).因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平.具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即
10、X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【精彩点拨】【自主解答】(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29).依题意，E(X)4.
11、73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.1.实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.2.概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望.(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.再练一题3.甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如
12、图231甲和图乙所示.图231(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解】(1)由图乙可知P(X乙7)0.2，P(X乙9)0.2，P(X乙10)0.35.所以P(X乙8)10.20.20.350.25.同理P(X甲7)0.2，P(X甲8)0.15，P(X甲9)0.3，所以P(X甲10)10.20.150.30.35.P(X甲9)0.30.350.65.(2)因为E(X甲)70.280.1590.3100.358.8，E(X乙)70.280.2590
13、.2100.358.7，则有E(X甲)E(X乙)，所以估计甲的水平更高.构建体系1.一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是()A.0.83B.0.8C.2.4D.3【解析】E(X)30.82.4.【答案】C2.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为()A.B. C.2D.【解析】X的取值为2,3.因为P(X2)，P(X3).所以E(X)23.【答案】D3.某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的均值E()8.9，则y的值为_.【解析】依题意得即解得y0.4.【答案】0.4
14、4.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(Xk)akb(k1,2,3).又X的均值E(X)3，则ab_. 【导学号：62980053】【解析】P(X1)ab，P(X2)2ab，P(X3)3ab，E(X)1(ab)2(2ab)3(3ab)3，14a6b3.又(ab)(2ab)(3ab)1，6a3b1.由可知a，b，ab.【答案】5.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数.求：(1)X的分布列；(2)X的均值.【解】(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X
15、2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列为X01234P(2)E(X)01234.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.设随机变量XB(40，p)，且E(X)16，则p等于()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【解析】E(X)16，40p16，p0.4.故选D.【答案】D2.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的期望为()A.0.6B.1 C.3.5D.2【解析】抛掷骰子所得点数的分布列为123456P所以E()1234563.5.【答案】C3.设的分布列为1234P又设25，则E()等于()A.B. C.
16、D.【解析】E()1234，所以E()E(25)2E()525.【答案】D4.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为()A.B.1 C.D.【解析】遇到红灯的次数XB，E(X).E(Y)E(2X)2.【答案】D5.设随机变量X的分布列为P(Xk)，k1,2,3,4，则E(X)的值为()A.2.5B.3.5 C.0.25D.2【解析】E(X)12342.5.【答案】A二、填空题6.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现
17、目标的雷达的台数为X，则E(X)_. 【导学号：62980054】【解析】X可能的取值为0,1,2，P(X0)(10.9)(10.85)0.015，P(X1)0.9(10.85)0.85(10.9)0.22，P(X2)0.90.850.765，所以E(X)10.2220.7651.75.【答案】1.757.(2016邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是_.【解析】随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)，因此E(X).【答案】8.如图232，将
18、一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)_.图232【解析】依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)0123.【答案】三、解答题9.某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】设来领奖的人数k(k0,1，3 000)，P(k)C(0.04)k(10.04)3 000k，则B(3 000,0.04)，那么E()3 0000.0
19、4120(人)100(人).俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请.10.(2015重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.【解】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P故E(X)012(个).能力提升1.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000
20、件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：X0123P0.70.10.10.1X0123P0.50.30.20据此判定()A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定【解析】E(X)00.710.120.130.10.6，E(Y)00.510.320.2300.7.由于E(Y)E(X)，故甲比乙质量好.【答案】A2.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A.2 000元B.2 200元C.2 40
21、0元D.2 600元【解析】出海的期望效益E()5 0000.6(10.6)(2 000)3 0008002 200(元).【答案】B3.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.【解析】P(X0)(1p)2，p.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X0)，P(X1)222，P(X2)222，P(X3)2，因此E(X)123.【答案】4.(2015山东高考)若n是一个三位正整数，
22、且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X).【解】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C84，随机变量X的取值为：0，1,1，因此，P(X0)，P(X1)，P(X1)1.所以X的分布列为X011P则E(X)0(1)1.