1、南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试南阳市一中 2020 年春期高三第十五次考试数学（理）试题本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集 UR，2|2,Ax yxx|2,xBy yxR，则()RC AB（）A|0 x x B|01xxC|12xx D|2x x 2如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径20mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷
2、 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A230mmB236310mmC23635mmD220mm3已知复数531izi，则下列说法正确的是（）A z 的虚部为 4iB z 的共轭复数为1 4iC5z D z 在复平面内对应的点在第二象限4已知等比数列 na的前 n 项和为nS，若423SS，且2615aa，则4a ()A8B6C4D25已知函数xya，byx，logcyx的图象如图所示，则（）南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试A abcB acbCcabDcba6定义在 R 上的偶函数 fx 满足 2fxf x，且在3,2 上是减函数，锐角,是钝角三
3、角形的两个内角，则下列不等式关系中正确的是（）AsincosffBcoscosffCcoscosffDsincosff7从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（）A5 2B 6 2C9D108如图给出了计算601614121的值的程序框图，其中 分别是()A2,30nniB2,30nniC1,30nniD1,30nni9.将函数sin3yx 横坐标缩短一半，再向右平移 6个单位长度，所得图象对应的函数,下列命题不正确的有几个（）在区间,4 4 上单调递增，在区间 35,44上单调递减有一条对称轴为6x，有一个对称中心为,0
4、4南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试A.3B.2C.1D.410已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 到其准线的距离为 4，圆22():21Mxy，过 F 的直线l 与抛物线C 和圆 M 从上到下依次交于 A，P，Q，B 四点，则4APBQ的最小值为（）A9B11C13D1511已知存在正实数 x，y 满足2222()(lnln)0axxyyx，则实数 a 的取值范围是（）A,0B0,1C0,D1,12将给定的一个数列na：1a，2a，3a，按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将2a，3a 作为第二组，将4a
5、，5a，6a 作为第三组，依次类推，第 n 组有 n 个元素（*nN），即可得到以组为单位的序列：1()a，23()a a,，456(,)a a a，我们通常称此数列为分群数列.其中第 1个括号称为第 1 群，第 2 个括号称为第 2 群，第 3 个数列称为第 3 群，第n 个括号称为第n 群，从而数列na称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第 m 个群众，且从第 m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第 m 群众的第k 个元素.已知数列 1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，将数列分群，其中，第 1 群为（1），第 2 群为（1,3），第 3 群为（1,3，23），
6、以此类推.设该数列前 n 项和12nNaaa，若使得14900N 成立的最小na 位于第 m 个群，则 m （）A11B10C9D8二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知,a b为单位向量，且 a b=0，若25cab，则cos,a c _.14已知函数11 2()22xxf x，对于 R，xR，使22cos()sin1mf xm 成立，则实数 m 的取值范围是_.15已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试渐近线平行的直线交双曲线于点 P，若213PFPF，则双
7、曲线的离心率为_.16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。17某市规划一个平面示意图为如下图五边形 ABCDE 的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE 为赛道（不考虑宽度），BE 为赛道内的一条服务通道，23BCDCDEBAE ，DE 4
8、km，3BCCDkm.（1）求服务通道 BE 的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道 BAE 最长？18如图所示，在四面体 ABCD 中，ADAB，平面 ABD 平面 ABC，22ABBCAC，且4ADBC.（1）证明：BC 平面 ABD；（2）设 E 为棱 AC 的中点，当四面体 ABCD 的体积取得最大值时，求二面角CBDE的余弦值.南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试19某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布68 36N，.（1）一顾客购买了 20 个该果园的“糖
9、心苹果”，求会买到果径小于 56mm 的概率；（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是 2009 年至 2018 年，该果园每年的投资金额 x（单位：万元）与年利润增量 y（单位：万元）的散点图：该果园为了预测 2019 年投资金额为 20 万元时的年利润增量，建立了 y 关于 x 的两个回归模型；模型：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程：2.502 0.5yx；模型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：lnybxa的附近，对投资金额 x 做交换，令lntx，则 yb ta，且有10122.00iit，101230ii
10、y，101569.00iiit y，102150.92iit.（I）根据所给的统计量，求模型中 y 关于 x 的回归方程；（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数2R，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为 20 万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.回归模型模型模型回归方程2.502 0.5yxlnybxa南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试1021iiiyy102.2836.19附：若随机变量2XN，则220.9544PX，330.9974PX；样本,1 2iit yin，的最小乘估计公式为121niiiniittyybtt，aybt；相关指数221211ni
11、iniiyyRyy.参考数据：200.97720.6305，200.99870.9743，ln 20.6931，ln 51.6094.20已知椭图1C：222210 xyabab的右顶点与抛物线2C：220ypx p的焦点重合，椭圆1C 的离心率为 12，过椭圆1C 的右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4 2.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点4,0A 的直线l 与椭圆1C 交于 M，N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 E.当直线l 绕点 A 旋转时，直线 EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.南阳一中 2020 年春期高三第十五次考试21.已知
12、函数()(0)xxf xexaea.（1）讨论()f x 极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1x，2x，且12121120 xxm xx，求实数 m 的取值范围.选做题 22在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为2cos22sin2xryr （为参数0r）以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程2sin42（1）求圆心的极坐标（2）若圆 C 上点到直线 的最大距离为 3，求 r 的值选做题 23已知函数|1|2|f xxx.（1）求不等式 5f x 的解集；（2）若不等式 21f xxax 的解集包含1,1，求实数 a 的取值范围.