1、课时跟踪检测（二十） 生活中的优化问题举例层级一学业水平达标1某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8B.C1 D8解析：选C瞬时变化率即为f(x)x22x为二次函数，且f(x)(x1)21，又x0,5，故x1时，f(x)min1.2某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：yt3t236t，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(
2、)A6时 B7时C8时 D9时解析：选C yt2t36(t12)(t8)令y0，得t8或t12(舍去)，则当6t0，当8t9时，y400时，P0恒成立，易知当x300时，总利润最大5某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为()A900元 B840元C818元 D816元解析：选D设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底的面积为16(m2)，则长为x m的一边的邻边长度为 m，l16151224072，所以l72.令l0，解得x4或x4(舍去)，当0x4时，l0；当
3、x4时，l0.故当x4时，l有极小值，也是最小值，且最小值为816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元6某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2和L22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为_万元解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15x)辆总利润L5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30(x0)令L0.3x3.060，得x10.2.当x10时，L有最大值45.6.答案：45.67内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为_解析：设圆锥高为h，底面
4、半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR.当0h0；当h2R时，V0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2 m怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积解：设休闲广场的长为x m，则宽为 m，绿化区域的总面积为S(x) m2.则S(x)(x6
5、)2 4242 4244，x(6,600)S(x)4.令S(x)0，得6x60；令S(x)0，得60x600.S(x)在(6,60)上是增函数，在(60,600)上是减函数，当x60时，S(x)取得极大值，也是最大值，S(x)maxS(60)1 944.当休闲广场的长为60 m，宽为40 m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m2.10统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0x120)(1)当x64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解：(1)当x64千米/
6、小时时，要行驶100千米需要小时，要耗油11.95(升)(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，22.5，a，设h(x)x2，则当h(x)最小时，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，当x(0,80)时，h(x)0，故当x(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x(80,120)时，函数h(x)为增函数，当x80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为a200.故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米层级二应试能力达标1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为 yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()
7、A13万件B11万件C9万件 D7万件解析：选Cyx281，令y0，解得x9或x9(舍去)，当0x9时，y0；当x9时，y0. 所以当x9时，y取得最大值2某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32 m,16 m B30 m,15 mC40 m,20 m D36 m,18 m解析：选A要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x m，则长为 m，因此新墙总长度L2x(x0)，则L2，令L0，得x16.x0，x16.当x16时，Lmin64，堆料场的长为32(m)3某商
8、品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200x)件，要使利润最大每件定价为()A110元 B115元C120元 D125元解析：选B设每件商品定价x元，依题意可得利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000(0x200)，S(x)2x230，令2x2300，得x115.因为在(0,200)内S(x)只有一个极值，所以以每件115元出售时利润最大4若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A2r2 Br2C4r2 D.r2解析：选A设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S2r1t2r124r1.S4. 令(r2rr)0得r1r.此时S4r4
9、rr2r2.5某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函数f(x)的最小值点，故当x20时，f(x)最小答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_ m时，帐篷的体积最大解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正
10、六棱锥底面边长为(m)，于是底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)帐篷的体积为V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)，V(123x2)令V0，解得x2或x2(不合题意，舍去)当1x2时，V0；当2x4时，V0.所以当x2时，V最大答案：27某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x元，则
11、一个星期多卖出的商品为kx2件由已知条件，得k2224，解得k6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)(30x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)由(1)得，f(x)18x2252x432.令f(x)0，得x2或x12.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072极小值极大值0所以当x12时，f(x)取得极大值因为f(0)9 072，f(12)11 664，f(21)0，所以定价为301218(元)，能使一个星期的商品销售利润最大8两县城A和B相距20 km，
12、现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由解：(1)根据题意ACB90，|AC| x km，|BC| km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为，因此，总影响度y(0x20)又垃圾处理厂建在A的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，故有0.065，解得k9，故yf(x)(0x20)(2)f(x).令f(x)0，解得x4或x4(舍去)所以当x(0,4)时，f(x)0，y为减函数；当x(4，20)时，f(x)0，y为增函数故在x4处，函数f(x)取得极小值，也是最小值即垃圾场离城A的距离为4 m时，对城A和城B的总影响最小