1、11.1集合的含义与表示第一课时集合的含义预习课本P23，思考并完成以下问题 (1)集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？ (2)元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？ 1元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素元素常用小写的拉丁字母a，b，c，表示(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性点睛集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决
2、集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物2元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a是集合A中的元素aAa属于集合A不属于a不是集合A中的元素aAa不属于集合A点睛对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA”这两种结果(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R0是错误的3常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或NZQR1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)你班所有的姓氏能组成集合()(2)新课标数学人教A版必修1课本上
3、的所有难题()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素 ()答案：(1)(2)(3)2下列元素与集合的关系判断正确的是()A0NBQC.Q D1Z答案：A3已知集合A中含有两个元素1，x2，且xA，则x的值是()A0 B1C1 D0或1答案：A4方程x210与方程x10所有解组成的集合中共有_个元素答案：2集合的基本概念例1考查下列每组对象，能构成一个集合的是()某校高一年级成绩优秀的学生；直角坐标系中横、纵坐标相等的点；不小于3的自然数；2018年第23届冬季奥运会金牌获得者ABC D 解析中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；中的对象都满足确定性，所以能构成集合答案B判断一组对
4、象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合同时还要注意集合中元素的互异性、无序性 活学活用1给出下列说法：中国的所有直辖市可以构成一个集合；高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；正偶数的全体可以构成一个集合；大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合其中正确的有_(填序号)解析：中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以错误；中的所有整数能构成集合，所以错误元素与集合的关系答案：例2(1)下列关系中，正确的有()R； Q；|3|N；|Q.A1个 B2个C3个 D4个(2)集合A
5、中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为_解析(1)是实数，是无理数，|3|3是非负整数，|是无理数因此，正确，错误(2)由题意可得：3x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.答案(1)C(2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征 活学活用2已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素aA，aB，则a的
6、值为()A0 B1C2 D3解析：选DaA，aB，由元素与集合之间的关系知，a3.3用适当的符号填空：已知Ax|x3k2，kZ，Bx|x6m1，mZ，则有：17_A；5_A；17_B.解析：令3k217得，k5Z.所以17A.令3k25得，kZ.所以5A.令6m117得，m3Z，所以17B.答案：集合中元素的特性及应用例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1A，则实数a的值为_解析若1A，则a1或a21，即a1.当a1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，a1；当a1时，集合A含有两个元素1，1，符合元素的互异性a1.答案1一题多变1变条件本例若将条件“1A”改为“2A”，其他条件不变，求
7、实数a的值解：因2A，则a2或a22即a2，或a，或a.2变条件本例若去掉条件“1A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由aa2解得a0且a1.3变条件已知集合A含有两个元素1和a2，若“aA”，求实数a的值解：由aA可知，当a1时，此时a21，与集合元素的互异性矛盾，所以a1.当aa2时，a0或1(舍去)综上可知，a0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤层级一学业水平达标1下列说法正确的是()A某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B由1,2,3和 ，1，组成的集合不相等C不超过20的非负数组成一个集合D方程(x1)(x1)20的所有解构
8、成的集合中有3个元素解析：选CA项中元素不确定B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等D项中方程的解分别是x11，x2x31.由互异性知，构成的集合含2个元素2已知集合A由x1的数构成，则有()A3AB1AC0A D1A解析：选C很明显3,1不满足不等式，而0，1满足不等式3下面几个命题中正确命题的个数是()集合N*中最小的数是1；若aN*，则aN*；若aN*，bN*，则ab最小值是2；x244x的解集是2,2A0 B1C2D3解析：选CN*是正整数集，最小的正整数是1，故正确；当a0时，aN*，且aN*，故错；若aN*，则a的最小值是1，又bN*，b的最小值也是1，
9、当a和b都取最小值时，ab取最小值2，故正确；由集合元素的互异性知是错误的故正确4已知集合A含有三个元素2,4,6，且当aA，有6aA，则a为()A2 B2或4C4 D0解析：选B若a2A，则6a4A；或a4A，则6a2A；若a6A，则6a0A.故选B.5由实数a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是()A1 B2C3D4解析：选B当a0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a0时，|a|所以一定与a或a中的一个一致故组成的集合中有两个元素，故选B.6下列说法中：集合N与集合N是同一个集合；集合N中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都是集合Z中的元素；集合Q中的元素都
10、是集合R中的元素其中正确的有_(填序号)解析：因为集合N表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以中的说法不正确，中的说法正确答案：7已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若aA，bB，则ab_A，ab_A(填或)解析：a是偶数，b是奇数，ab是奇数，ab是偶数，故abA，abA.答案：8已知集合P中元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_.解析：xN,2xa，且集合P中恰有三个元素，结合数轴知a6.答案：69设A是由满足不等式x6的自然数组成的集合，若aA且3aA，求a的值解：aA且3aA，解得a2.又aN，a0或1.10已
11、知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若AB，求实数x，y的值解：因为集合A，B相等，则x0或y0.(1)当x0时，x20，则B0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去(2)当y0时，xx2，解得x0或x1.由(1)知x0应舍去综上知：x1，y0.层级二应试能力达标1下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()AP是由元素1，构成的集合，Q是由元素，1，|构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合CP是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集解析：选A由于A中P，Q元素完全相同
12、，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合故选A.2若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A梯形B平行四边形C菱形 D矩形解析：选A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等3若集合A中有三个元素1，ab，a；集合B中有三个元素0，b.若集合A与集合B相等，则ba()A1 B1C2 D2解析：选C由题意可知ab0且a0，ab，1.a1，b1，故ba2.4已知a，b是非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是()A0M B1MC3M D1M解析：选B当a，b全为正数时，代数式的
13、值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是1；当a，b是一正一负时，代数式的值是1.综上可知B正确5不等式xa0的解集为A，若3A，则实数a的取值范围是_解析：因为3A，所以3是不等式xa0的解，所以3a3.答案：a36若集合A中含有三个元素a3,2a1，a24，且3A，则实数a的值为_解析：(1)若a33，则a0，此时A3，1，4，满足题意(2)若2a13，则a1，此时A4，3，3，不满足元素的互异性(3)若a243，则a1.当a1时，A2,1，3，满足题意；当a1时，由(2)知不合题意综上可知：a0或a1.答案：0或17集合A中共有3个元素4,2a1，a2，集合B中也共有3个元素9，a5,1
14、a，现知9A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由解：9A，2a19或a29，若2a19，则a5，此时A中的元素为4,9,25；B中的元素为9,0，4，显然4A且4B，与已知矛盾，故舍去若a29，则a3，当a3时，A中的元素为4,5,9；B中的元素为9，2，2，B中有两个2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去当a3时，A中的元素为4，7,9；B中的元素为9，8,4，符合题意综上所述，满足条件的a存在，且a3.8设A为实数集，且满足条件：若aA，则A(a1)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集证明：(1)若aA，则A.又2A，1A.1A，A.A，2A.A中必还有另外两个元素，且为1，.(2)若A为单元素集，则a，即a2a10，方程无解a，集合A不可能是单元素集