1、1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定【选题明细表】知识点、方法题号奇偶函数的图象特征2,6,11,12奇偶性的概念与判定1,3,5,8,10利用奇偶性求参数4,7,91.函数f(x)=的奇偶性是(B)(A)奇函数(B)偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数又不是偶函数解析:函数f(x)=的定义域为R,f(-x)=f(x),所以该函数是偶函数.故选B.2.函数f(x)=x3+的图象关于(A)(A)原点对称 (B)y轴对称(C)y=x对称 (D)y=-x对称解析:函数的定义域为(-,0)(0,+),因为f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),所以函数为奇函数.所以
2、函数f(x)=x3+的图象关于原点对称,故选A.3.(2017西城区高一期中)如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是(B)(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以y=x+f(x)是奇函数.对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以y=xf(x)是偶函数.对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,对于D,g(-x)=(
3、-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以y=x2f(x)是奇函数.故选B.4.(2017河北省定州高一月考)已知函数f(x)=ax2+bx是定义在a-1, 2a上的偶函数,那么a+b等于(C)(A)0(B)(C)(D)-1解析:依题意有解得所以a+b=.故选C.5.已知f(x)=ax3+bx+1(ab0),若f(2 018)=k,则f(-2 018)等于(D)(A)k (B)-k (C)1-k (D)2-k解析:设g(x)=ax3+bx,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+1.因为f (2 018)=k,则g(2 018)=f(2 018)-1=k-1,所以g(-2 018
4、)=-g(2 018)= 1-k.所以f(-2 018)=g(-2 018)+1=1-k+1=2-k.故选D.6.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为(A)(A)-2 (B)2(C)1 (D)0解析:由图知f(1)=,f(2)=,又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-=-2.故选A.7.若函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,则k等于.解析:由于函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,因此k-1=0,k=1.答案:18.若f(x)为偶函数,则f(+1)-f()=.解析:因f(x)为偶函数,所以f()=f(-(
5、1+)=f(1+),故f(+1)-f()=0.答案:09.已知函数f(x)=1-.(1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;(2)试判断f(x)在(0,+)内的单调性,并用定义证明.解:(1)由已知g(x)=f(x)-a得,g(x)=1-a-,因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即1-a-=-(1-a-),解得a=1.(2)函数f(x)在(0,+)内为增函数.证明:设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-(1-)=.因为0x1x2,所以x1-x20,从而0,即f(x1)0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,当x0时,y=x|x|=-x2,此时为增函数.综上在R上函数
6、为增函数.故选D.11.(2017揭西县河婆中学高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=x2+2x.(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的增区间;(2)写出函数f(x)的值域.解:(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图:所以f(x)的递增区间是(-1,0),(1,+).(2)由函数图象可知,f(x)min=f(-1)=-1,故f(x)的值域为-1,+).12.(2017宾阳中学高一期中)若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+)上是减函数,有f(5)=0,则0的解集为.解析:因为f(x)是偶函数,在(0,+)上是减函数,所以f(x)在(-,0)上是增函数,由f(5)=0得,f(-5)=0,作出f(x)的示意图,如图所示.因为0等价于5或-5x0,所以不等式的解集为(-5,0)(5,+).答案:(-5,0)(5,+)