1、第9节函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用函数(图象)刻画实际问题1二次函数、分段函数模型2,3,4,7指数、对数函数模型5函数模型综合应用6,8,9,10基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2018安徽淮南一模拟)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是(C)解析:由三视图可知,该容器上部分为圆台下部分是一个与上部分形状相同的倒放的圆台,所以水面高度随时间的变化为先慢,再快最后慢的情况变化,故选C.2.甲、乙两人同时从A地赶住B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲
2、骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,甲、乙两人运行的函数关系的图象应该分别是(B)(A)图、图(B)图、图(C)图、图(D)图、图解析:甲先骑自行车到中点后改为跑步,则前半程的速度大于后半程的速度,因此前半程的直线的斜率大于后半程直线的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的直线的斜率小于后半程直线的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,则甲前半程的直线的斜率大于乙后半程直线的斜率,所以甲是,乙是,故选B.3.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产
3、值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x100,xN*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是(B)(A)15(B)16(C)17(D)18解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则由解得01010,得()x108,两边取以10为底的对数,得xlg 8,所以x.因为=45.45,所以x45.45,所以至少经过46小时,细胞总数超过1010个.6.(教材习题改编题)渔场中鱼群的最
4、大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量,已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k0),则鱼群年增长量的最大值是.解析:由题意,空闲率为1-,所以y=kx(1-),定义域为(0,m),y=kx(1-)=-(x-)2+,因为 x(0,m),k0,所以当x=时,ymax=.答案:7.某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的
5、变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt.利用你选取的函数,可知西红柿种植成本最低时的上市天数是.解析:因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t=60和t=180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q=at2+bt+c,即Q=a(t-120)2+m描述,将表中数据代入可得解得所以Q=0.01(t-120)2+80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值.答案:120能力提升(建议用时:25分钟)8.(2018上海黄浦区二模改编)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇
6、形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10米,OB=x米(0x10),线段BA,CD与弧BC、弧AD的长度之和为30米,圆心角为弧度.若记铭牌的截面面积为y,则x=时,y有最大值.解析:由题意可知弧BC=x(米),弧AD=10(米).又BA+CD+=30,于是10-x+10-x+x+10=30,所以=(0x10).因此y=S扇形OAD-S扇形OBC=102-x2,化简整理得y=-x2+5x+50=-(x-)2+,于是当x=(满足条件0x10)时,ymax=(平方米).答案:9.(2018湖北襄阳市四校联考)广东某市一玩具厂生产一种玩具深受大家喜欢,经市场调查该商品每月的销售量
7、y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2x6, m为常数.已知销售价格为4元/件时,每日可售出玩具21千件.(1)求m的值;(2)假设该厂生产这种玩具的成本、员工工资等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数),试确定销售价格x的值,使该厂每日销售这种玩具所获得的利润最大.(保留1位小数)解:(1)因为x=4时, y=21,代入关系式y=+4(x-6)2,得+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知,玩具每日的销售量y=+4(x-6)2,所以每日销售玩具所获得的利润f(x)=(x-2)+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56
8、x2+240x-278(2x6),从而f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)单调递增;在(,6)上, f(x)200时,y5,不满足公司的要求.(2)对于y=1.003x,易知满足,但当x538时,y5,不满足公司的要求.(3)对于y=ln x+1,易知满足.当x10,1 000时,yln 1 000+1.下面证明ln 1 000+15.因为ln 1 000+1-5=ln 1 000-4=(ln 1 000-8)(ln 1 000-ln 2 981)0,所以y=ln x+1满足.再证明ln x+1x25%,即2ln x+4-x0.设F(x)=2ln x+4-x,则F(x)=-1=0,x10,1 000,所以F(x)在10,1 000上为减函数,F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)0,满足.综上,奖励模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.
