1、模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(1+i)16-(1-i)16=()A.-256B.256iC.0D.256解析:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,(1+i)4=(2i)2=-4.(1-i)4=(-2i)2=-4.(1+i)16=(-4)4=256,(1-i)16=(-4)4=256.(1+i)16-(1-i)16=256-256=0.答案:C2.已知函数f(x)=ln x-x,则函数f(x)的递减区间是()A.(-,1)B.(0,1)C.(-,0),(1,+
2、)D.(1,+)解析:f(x)=1x-1=1-xx(x0),令f(x)1.f(x)的递减区间是(1,+).答案:D3.已知f(x+1)=2f(x)f(x)+2,f(1)=1(xN+),猜想f(x)的表达式为()A.f(x)=42x+2B.f(x)=2x+1C.f(x)=1x+1D.f(x)=22x+1解析:由f(1)=1得f(2)=21+2=23,f(3)=22323+2=48=24,f(4)=22424+2=25,猜想f(x)=2x+1.答案:B4.用数学归纳法证明3nn3(n3,nN)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析:由题知n的最小值为3,所以第一步验证n=3是
3、否成立.答案:C5.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.12B.16C.14D.13解析:依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于01 (x-x2)dx=23x32-13x3|01=13,因此所求概率为P=131=13.答案:D6.已知f(x)=14x2+sin2+x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图像是()解析:f(x)=14x2+cos x,f(x)=12x-sin x,令g(x)=f
4、(x),则g(x)为奇函数,排除B,D;由g(x)=12-cos x知g(x)在y轴右侧先递减,排除C.故选A.答案:A7.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b是曲线y=aln x的切线,则当a0时,实数b的最小值是()A.-2B.-1C.0D.1解析:设切点坐标为(x0,aln x0),因为y=ax,所以切线斜率为ax0=1,则x0=a.又点(a,aln a)在直线y=x+b上,所以aln a=a+b,所以b=aln a-a(a0),将b视为关于a的函数,求导得b=ln a,令ln a=0得a=1,易知b=aln a-a在(0,1)上是减少的,在(1,+)上是增加的,所以当a=1时,bm
5、in=-1.答案:B8.设f(x)=13x3+ax2+5x+6在区间1,3上为单调函数,则实数a的取值范围是()A.-5,+)B.(-,-3C.(-,-3-5,+)D.-5,5解析:f(x)=x2+2ax+5,若f(x)在1,3上为单调函数且单调递增,则x1,3时,x2+2ax+50恒成立,即2a-x+5x,而x1,3时,x+5x25,-x+5x-25,2a-25,a-5,若f(x)在1,3上单调递减,则x1,3时,x2+2ax+50恒成立,即2a-x+5x,而x1,3时,记h(x)=x+5x,hmax=h(1)=6,-x+5x-6,2a-6,a-3,a的取值范围是(-,-3-5,+).答案:
6、C9.给出下面类比推理的命题,其中类比结论正确的是()A.“若a,bR,则a2+b2=0a=0且b=0”类比推出“若z1,z2C,则z12+z22=0z1=0且z2=0”B.“若a,bR,则a-b0ab”类比推出“若z1,z2C,则z1-z20z1z2”C.“若xR,则|x|1-1x1”类比推出“若zC,则|z|1-1z1”D.“若a,b,c,dR,则复数a+bi=c+dia=c,b=d”类比推出“若a,b,c,dQ,则a+2b=c+2da=c,b=d”解析:对A,若z1,z2为虚数,由z12+z22=0不能推出z1=0且z2=0,如z1=1+i,z2=1-i,z12+z22=0,但z10,z
7、20.同理B,C也不正确,D正确.答案:D10.满足条件|z-2i|+|z+1|=5的点的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段D.圆解析:|z-2i|+|z+1|=5表示动点Z到两定点(0,2)与(-1,0)的距离之和为常数5,又点(0,2)与(-1,0)之间的距离为5,所以动点的轨迹为以两定点(0,2)与(-1,0)为端点的线段,故选C.答案:C11.若函数y1=sin 2x1+12x10,2,函数y2=x2+3,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为()A.212+52-64B.212C.52-642D.(-33+15)272解析:(x1-x2)2+(y1-y2)2表示两函数图像上任
8、意两点之间的距离,其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离.y1=2cos 2x1,令y1=1,cos 2x1=12,x1=6,y1=1+32,故切点为6,1+32,切点到直线y2的距离为6-1+32+32=-33+1562,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为-33+15622=(-33+15)272.答案:D12.导学号88184077设函数f(x),g(x)在a,b上均可导,且f(x)g(x),则当axg(x)B.f(x)g(x)C.f(x)+g(a)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)解析:令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)
9、=f(x)-g(x)0,F(x)在a,b上是减少的,当axb时,F(b)F(x)f(x)-g(x)f(b)-g(b),化简可得f(x)+g(b)g(x)+f(b),f(a)+g(x)f(x)+g(a).答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为.解析:由复数模的定义可得|4+3i|=5,从而(3-4i)z=5,则z=53-4i=3+4i5=35+45i,故z的虚部为45.答案:4514.设f(x)=2|x|,则-24 f(x)dx=.解析:f(x)=2|x|=2-x(x0,8(a-2)0.解得2a0;当x(-2,-ln
10、 2)时,f(x)bc,求证:1a-b+1b-c4a-c.证明已知abc,因为a-ca-b+a-cb-c=a-b+b-ca-b+a-b+b-cb-c=2+b-ca-b+a-bb-c2+2b-ca-ba-bb-c=4,所以a-ca-b+a-cb-c4,即1a-b+1b-c4a-c(当且仅当2b=a+c时取等号).20.导学号88184078(本小题满分12分)已知函数f(x)=22-x,记数列an的前n项和为Sn(nN+),且有a1=f(1).当n2时,Sn-2f(an)=12(n2+5n-2).(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想数列an的通项公式,并给予证明.解(1)a1=2,a2=
11、3,a3=4,a4=5.(2)由(1)猜想an=n+1,下面用数学归纳法证明:当n=1时,由(1)可知猜想成立;假设n=k(kN+且k1)时猜想成立,即ak=k+1,则当n=k+1时,Sk+1-2f(ak+1)=12(k+1)2+5(k+1)-2,即Sk+ak+1-(2-ak+1)=12(k+1)2+5(k+1)-2,即12(k2+5k-2)+2-ak+ak+1-(2-ak+1)=12(k+1)2+5(k+1)-2,化简整理得ak+1=k+2=(k+1)+1,当n=k+1时猜想成立,综上所述,对任意nN+,an=n+1成立.21.(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件,生产出一件正品,可获利
12、200元,生产出一件次品,则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中,次品率p与日产量x的函数关系是:p=3x4x+32(xN+).(1)求该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式;(2)为获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?解(1)由题意得T=200x1-3x4x+32-100x3x4x+32=2564x-x2x+8.(2)由(1)可得T=-25(x+32)(x-16)(x+8)2,令T=0得x=16或x=-32(舍去).当0x0;当x16时,T(x+1)ln x.(1)解由题意可知f(x)=2x+a-1x0在1,2上恒成立,即a1x-2x在1,2上恒成立,令h(x)=1x
13、-2x,x1,2,则h(x)在1,2上是减少的,h(x)在1,2上的最小值为h(2)=12-4=-72,所以a-72.故a的取值范围是-,-72.(2)解假设存在实数a,使g(x)=ax-ln x(x(0,e)有最小值3,g(x)=a-1x=ax-1x.当a0时,g(x)在(0,e上是减少的,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=4e(舍去).当01ae时,g(x)在0,1a上是减少的,在1a,e上是增加的.g(x)min=g1a=1+ln a=3,解得a=e2,满足条件.当1ae时,g(x)在(0,e上是减少的,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=4e(舍去).综上,存在实数a=e2,使得当x(0,e时,g(x)有最小值3.(3)证明令F(x)=e2x-ln x,由(2)知,F(x)min=3.令(x)=lnxx+52,则(x)=1-lnxx2,当0xe时,(x)0,(x)在(0,e上是增加的,(x)max=(e)=1e+52lnxx+52,即e2x2-52x(x+1)ln x.
