1、第一课时等差数列的概念及通项公式预习课本P3638，思考并完成以下问题(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？(3)等差中项的定义是什么？1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示点睛(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：作差的顺序；这两项必须相邻(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否
2、则这个数列不能称为等差数列2等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是A.3等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为a1，公差为d.递推公式通项公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)点睛由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，an是关于n的一次函数；当p0时，anq，等差数列为常数列1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性与公差d
3、有关()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项()(4)若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定是等差数列()解析：(1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列(2)正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d1)，记bn.求证：数列bn是等差数列证明：法一定义法bn1，bn1bn，为常数(nN*)又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列法二等差中项法bn，bn1.bn2.bnbn22bn120.bnbn22bn1(nN*)，数列bn是等差数列等差数列判定的常用的2种方法(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an为
4、等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列活学活用已知，成等差数列，并且ac，ac，ac2b均为正数，求证：lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)也成等差数列解：，成等差数列，即2acb(ac)(ac)(ac2b)(ac)22b(ac)(ac)222aca2c22ac4ac(ac)2.ac，ac2b，ac均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg(ac)(ac2b)lg(ac)2，即lg(ac)lg(ac2b)2lg(ac)，lg(ac)，lg(ac)，lg(ac2b)成等差数列层级一学业水平达标1已知等差数列an的通项公式为an32n，则它的公差为()A2B3C
5、2 D3解析：选Can32n1(n1)(2)，d2，故选C.2若等差数列an中，已知a1，a2a54，an35，则n()A50 B51C52 D53解析：选D依题意，a2a5a1da14d4，代入a1，得d.所以ana1(n1)d(n1)n，令an35，解得n53.3设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则a，b的关系是()Aab Ba3bCab或a3b Dab0解析：选C由等差中项的定义知：x，x2，2，即a22ab3b20.故ab或a3b.4数列an中，a12,2an12an1，则a2 017的值是()A1 007 B1 008C1 009 D1 010解析：选D由2an12
6、an1，得an1an，所以an是等差数列，首项a12，公差d，所以an2(n1)，所以a2 0171 010.5已知数列3,9,15，3(2n1)，那么81是数列的()A第12项 B第13项C第14项 D第15项解析：选Can3(2n1)6n3，由6n381，得n14.6在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.解析：设等差数列an的公差为d，由题意，得解得ana1(n1)d3(n1)22n1.a626113.答案：137已知数列an中，a13，anan13(n2)，则an_.解析：因为n2时，anan13，所以an是以a13为首项，公差d3的等差数列所以ana1(n1)d33(n1)3
7、n.答案：3n8已知an为等差数列，且a72a41，a30，则公差d_.解析：根据题意得：a72a4a16d2(a13d)a11，a11.又a3a12d12d0，d.答案：9已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由解：数列是等差数列，理由如下：因为a12，an1，所以，所以(常数)所以是以为首项，公差为的等差数列10若，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列证明：由已知得，通分有.进一步变形有2(bc)(ab)(2bac)(ac)，整理，得a2c22b2，所以a2，b2，c2成等差数列层级二应试能力达标1若数列an为等差数列，apq，aqp(pq)，则apq为()A
8、pqB0C(pq) D.解析：选Bapa1(p1)d，aqa1(q1)d，得(pq)dqp.pq，d1.代入，有a1(p1)(1)q，a1pq1.apqa1(pq1)dpq1(pq1)(1)0.2已知xy，且两个数列x，a1，a2，am，y与x，b1，b2，bn，y各自都成等差数列，则等于()A. B.C. D.解析：选D设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2a1d1，b2b1d2.第一个数列共(m2)项，d1；第二个数列共(n2)项，d2.这样可求出.3已知数列an，对任意的nN*，点Pn(n，an)都在直线y2x1上，则an为()A公差为2的等差数列 B公差为1的等差数列C公差为2的
9、等差数列 D非等差数列解析：选A由题意知an2n1，an1an2，应选A.4如果a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d0，则()Aa3a6a4a5 Ba3a6a4a5 Da3a6a4a5解析：选B由通项公式，得a3a12d，a6a15d，那么a3a62a17d，a3a6(a12d)(a15d)a7a1d10d2，同理a4a52a17d，a4a5a7a1d12d2，显然a3a6a4a52d20，故选B.5数列an是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn是首项为2，公差为4的等差数列若anbn，则n的值为_解析：an2(n1)33n1，bn2(n1)44n6，令anbn，得3n14n6
10、，n5.答案：56在数列an中，a13，且对于任意大于1的正整数n，点(， )都在直线xy0上，则an_.解析：由题意得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以n，an3n2.答案：3n27已知数列an满足a11，且an2an12n(n2，且N*)(1)求a2，a3；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列an的通项公式an.解：(1)a22a1226，a32a22320.(2)证明：an2an12n(n2，且nN*)，1(n2，且nN*)，即1(n2，且nN*)，数列是首项为，公差d1的等差数列(3)由(2)，得(n1)1n，an2n.8数列an满足a12，an1(3)an2n(nN*)(1)当a21时，求及a3的值；(2)是否存在的值，使数列an为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由解：(1)a12，a21，a2(3)a12，.a3a222，a3.(2)a12，an1(3)an2n，a2(3)a1224.a3(3)a24221016.若数列an为等差数列，则a1a32a2.即27130.494130，方程无实数解值不存在不存在的值使an成等差数列